Dans tout ce chapitre \mathbb{K} désigne \mathbb{R} ou \mathbb{C}.
I) Anneau des polynômes à une indéterminée
Définition 1 : Soient \left(a_{k}\right) une suite d’éléments de \mathbb{K} et n \in \mathbb{N}. \bullet On admet l’existence d’un objet, notée X, et appelé l’indéterminée. \bullet Toute expression de la forme P=\sum\limits_{k=0}^{n} a_{k} X^{k} est appelée polynôme à une indéterminée et à coefficients dans \mathbb{K}. \bullet Les a_{k} sont appelée les coefficients du polynôme P. \bullet On note \mathbb{K}[X] l’ensemble des polynômes à coefficients dans \mathbb{K}. \bullet On admet que deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coefficients.
Exemple 1 : i) X^{2}+1 est un polynôme de \mathbb{R}[X], mais aussi de \mathbb{C}[X]. ii) 0 est un polynôme dit polynôme nul. iii) On dit que les éléments de \mathbb{k} sont des polynômes constants. iv) X^{3}+i X+1 \in \mathbb{C}[X], mais X^{3}+i X+1 \notin \mathbb{R}[X].
Opérations sur les polynômes : Soient P=\sum\limits_{k=0}^{n} a_{k} X^{k} et Q=\sum\limits_{k=0}^{m} b_{k} X^{k} deux polynômes de \mathbb{K}[X] et \lambda \in \mathbb{K}. On convient que \forall k>n, a_{k}=0 et \forall k>m, b_{k}=0. On définit les opérations suivantes : \bullet Le produit de P par \lambda: \lambda P=\sum\limits_{k=0}^{n} \lambda a_{k} X^{k}. \bullet La somme de P et Q: P+Q=\sum\limits_{k=0}^{\max (n, m)}\left(a_{k}+b_{k}\right) X^{k}. \bullet Le produit de P et Q: P Q=\sum\limits_{k=0}^{n+m} c_{k} X^{k} où \forall k \in \llbracket 0, n+m \rrbracket, \ c_{k}=\sum\limits_{i=0}^{k} a_{i} b_{k-i}. On peut aussi écrire \forall k \in \llbracket 0, n+m \rrbracket, \ c_{k}=\sum\limits_{\substack{0 \leq i \leq n \\0 \leq j \leq m \\ i+j=k }} a_{i} b_{j}. \bullet Composition : \mathrm{P} \circ Q=\sum\limits_{k=0}^{n} a_{k} Q^{k}.
Remarque 1 : pour tout polynôme P, on note P \circ X=P(X)=P
Exemple 2 : On pose P=X^{2}+2X-1 et Q=X+1. \bullet \ 3P=3X^{2}+6X-3 . \bullet \ P+Q= X^{2}+3X. \bullet \ PQ=X^{3}+2X^{2}-X+X^{2}+2X-1=X^{3}+3X^{2}+X-1 \bullet \ P \circ Q=Q^{2}+2Q-1=(X+1)^{2}+2X+2-1=X^{2}+4X+2. Et Q \circ P=P+1=X^{2}+2X . En particulier, P \circ Q \ne Q \circ P .
Proposition 1 : (\mathbb{K}[X],+, \times) est un anneau commutatif.
Remarque 2 : \bullet Le polynôme nul est l’élément neutre pour l’addition. \bullet Le polynôme 1 est l’élément neutre pour la multiplication.
Degré d’un polynôme : Soient n un entier naturel et P=\sum\limits_{k=0}^{n} a_{k} X^{k} un polynôme non nul à coefficients dans \mathbb{K}. \bullet On appelle degré de P et on note \operatorname{deg}(P) l’entier \max \left\{k \in \llbracket 0, n \rrbracket / a_{k} \neq 0\right\}. \bullet Le coefficient a_{\operatorname{deg}(P)} est dit coefficient dominant de P et le monôme a_{\operatorname{deg}(P)} X^{\operatorname{deg}(P)} est dit terme dominant de P. \bullet On convient que le degré du polynôme nul est -\infty. \bullet On appelle polynôme unitaire, un polynôme dont le coefficient dominant vaut 1. \bullet On note \mathbb{K}_{n}[X] l’ensemble des polynômes, à coefficients dans \mathbb{K}, de degré inférieur ou égal à n. Autrement dit \mathbb{K}_{n}[X]=\{P \in \mathbb{K}[X] / \operatorname{deg}(P) \leqslant n\} .
Exemple 3 : On pose P=2 X^{3}-X+1 et Q=X^{2}+1. \bullet \ \operatorname{deg}(P)=3, \operatorname{deg}(Q)=2, \operatorname{deg}(1)=0. \bullet Le coefficient dominant de P est 2. \bullet Le terme dominant de P et 2 X^{3}. \bullet P n’est pas unitaire. \bullet Q est unitaire. \bullet Pour tout n \in \mathbb{N} \backslash\{0 ; 1 ; 2\}, P \in \mathbb{R}_{n}[X] et P \notin \mathbb{R}_{2}[X].
Proposition 2 : Soient P et Q deux polynômes de \mathbb{K}[X]. Dans \overline{\mathbb{R}} on a : i) \operatorname{deg}(P+Q) \leqslant \max (\operatorname{deg}(P), \operatorname{deg}(Q)). ii) \operatorname{deg}(P \times Q)=\operatorname{deg}(P)+\operatorname{deg}(Q). iii) Si P et Q sont non nuls, \operatorname{deg}(P \circ Q)=\operatorname{deg}(P) \operatorname{deg}(Q).
Démonstration : i) 1^{\text {er }} cas : Si P=0 ou Q=0, c’est évident. 2^{\text {ème }} cas : Si P \neq 0 et Q \neq 0. On note n=\operatorname{deg}(P), m=\operatorname{deg}(Q) et N=\max (n, m). Et on écrit P=\sum\limits_{k=0}^{n} a_{k} X^{k} et Q=\sum\limits_{k=0}^{m} b_{k} X^{k}. Quitte à compléter par des coefficients nuls, on peut écrire : P+Q=\sum\limits_{k=0}^{N}\left(a_{k}+b_{k}\right) X^{k}. \bullet Si a_{N}+b_{N} \neq 0, alors \operatorname{deg}(P+Q)=N. \bullet Si a_{N}+b_{N}=0, alors \operatorname{deg}(P+Q)<N. On conclut de ces deux cas que \operatorname{deg}(P+Q) \leqslant \max (\operatorname{deg}(P), \operatorname{deg}(Q)). ii) 1^{\text {er }} Cas : Si P=0 ou Q=0, c’est évident. 2^{\text {ème }} Cas: Si P \neq 0 et Q \neq 0. En gardant les mêmes notations que dans la preuve de i) : P Q=\sum\limits_{k=0}^{n+m} c_{k} X^{k}=c_{n+m} X^{n+m}+\sum\limits_{k=0}^{n+m-1} c_{k} X^{k} . Donc P Q=a_{n} b_{m} X^{n+m}+\sum\limits_{k=0}^{n+m-1} c_{k} X^{k}. Puisque a_{n} b_{m} \neq 0, alors \operatorname{deg}(P Q)=n+m. iii) En gardant les mêmes notations que dans la preuve de i),On a : P \circ Q=\sum\limits_{k=0}^{n} a_{k}Q^{k}. Le coefficient dominant de P \circ Q est le coefficient dominant de a_{n} Q^{n}. Donc \operatorname{deg}(P \circ Q)=\operatorname{deg}\left(a_{n} Q^{n}\right)=n \operatorname{deg}(Q)=\operatorname{deg}(P) \cdot \operatorname{deg}(Q).
Exercice d’application 1 : 1) Trouver tous les polynômes P et Q de \mathbb{C}[X] vérifiant : Q^{2}=X P^{2}. 2) Trouver les polynômes P de \mathbb{C}[X] vérifiant P \circ P=P.
Corrigé : 1) Analyse : On suppose qu’il existe deux polynômes P et Q de \mathbb{C}[X] tels que Q^{2}=X P^{2}. Donc \operatorname{deg}\left(Q^{2}\right)=\operatorname{deg}\left(X P^{2}\right). Par la suite 2 \operatorname{deg}(Q)=\operatorname{deg}(X)+2 \operatorname{deg}(P). Ainsi 2 \operatorname{deg}(Q)=1+2 \operatorname{deg}(Q). Pour des raisons de parité \operatorname{deg}(Q)=\operatorname{deg}(P)=-\infty. C’est-à-dire P=Q=0. Synthèse : Le couple (P, Q)=(0,0) vérifie bien le problème en question. Conclusion : On conclut par le principe de raisonnement par analyse-synthèse que l’unique solution du problème est P=Q=0. 2) Analyse : On remarque que le polynôme nul vérifie le problème en question. On suppose qu’il existe un polynôme P de \mathbb{C}[X] \backslash\{0\} vérifiant P \circ P=P. Donc \operatorname{deg}(P \circ P)=\operatorname{deg}(P). Donc \operatorname{deg}(P)^{2}=\operatorname{deg}(P). Ainsi \operatorname{deg}(P)(\operatorname{deg}(P)-1). Par conséquent \operatorname{deg}(P)=0 ou \operatorname{deg}(P)=1. Si \operatorname{deg}(P)=1 alors il existe (a, b) \in \mathbb{C}^{*} \times \mathbb{C} tels que P=a X+b. Puisque P \circ P=P alors a(a X+b)+b=a X+b. Donc a^{2} X+a b+b=a X+b, en identifiant les coefficients a^{2}=a et a b+b=b. Donc a(a-1)=0 et a b=0. Puisque a \neq 0 alors a=1 et b=0 ou encore P=X. Synthèse : Si P est un polynôme constant alors P \circ P=P. Si P=X alors P \circ P=P. Conclusion : Par analyse-synthèse on conclut que les polynômes de \mathbb{C}[X] vérifiant P \circ P=P sont les polynômes constants et le polynôme X.
Corollaire 1 : (\mathbb{K}[X],+, \times) est un anneau intègre. Autrement dit : \forall P, Q \in \mathbb{K}[\times], \quad P Q=0 \Rightarrow P=0 ou Q=0.
Démonstration : Soient P, Q \in \mathbb{K}[X]. On suppose que P Q=0. \operatorname{Donc} \operatorname{deg}(P Q)=\operatorname{deg}(0). \operatorname{Donc} \operatorname{deg}(P)+\operatorname{deg}(Q)=-\infty . Comme \operatorname{deg}(P), \operatorname{deg}(Q) \in\{-\infty\} \cup \mathbb{N}, forcément \operatorname{deg}(P)=-\infty ou \operatorname{deg}(Q)=-\infty. Ainsi P=0 ou Q=0.
Proposition 3 : Les polynômes inversibles de (\mathbb{K}[X],+, \times) sont les polynômes constants non nuls. Autrement dit : \mathbb{K}[X]^{\times}=\mathbb{K}^{*}.
Démonstration : « \supset » Il est évident que \mathbb{K}^{*} \subset \mathbb{K}[X]^{\times}. « \subset » Soit P \in \mathbb{K}[X]^{\times}. Il existe Q \in \mathbb{K}[X] tel que P Q=1. Donc \operatorname{deg}(P Q)=\operatorname{deg}(1). Ainsi \operatorname{deg}(P)+\operatorname{deg}(Q)=0. Puisque \operatorname{deg}(P), \operatorname{deg}(Q) \in\{-\infty\} \cup \mathbb{N}, alors \operatorname{deg}(P)=\operatorname{deg}(Q)=0. Ce qui signifie que P \in \mathbb{K}^{*}.
Définition 2 : Soient A et B deux polynômes de \mathbb{K}[X]. \bullet On dit que A est un diviseur de B (ou que B est un multiple de A), et on note A \mid B, lorsque \exists P \in \mathbb{K}[X], B=P A. \bullet On note D(A) l’ensemble de diviseurs de A. \bullet On note A \cdot \mathbb{K}[\mathrm{X}] l’ensemble des multiples de A.
Exemple 4 : i) X-1 \mid X^{2}-1 dans \mathbb{K}[X] . X-1 \in D\left(X^{2}-1\right) et X^{2}-1 \in(X-1) \mathbb{K}[X]. ii) \forall A \in \mathbb{K}[X], A \mid 0. iii) D(0)=\mathbb{K}[X] et 0 \cdot \mathbb{K}[X]=\{0\}. iv) 2 \mid 3 dans \mathbb{K}[X] mais 2 \nmid 3 dans \mathbb{Z}. v) X-i \mid X^{2}+1 dans \mathbb{C}[X] . X^{2}+1 n’admet ancun diviseur de degré 1 dans \mathbb{R}[X]. En effet, on suppose qu’il existe (a, b, c, d) \in \mathbb{R}^{*} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{*} \times \mathbb{R}, tels que X^{2}+1=(a X+b)(c X+d). Donc X^{2}+1=a c X^{2}+(a d+b c) X+b d. En identifiant les coefficients a c=1 et a d+b c=0 et b d=1. Donc \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=0 donc \frac{a^{2}+b^{2}}{a b}=0 d’où a^{2}+b^{2}=0. Et par la suite a=b=0 ce qui est absurde.
Définition (polynômes associés) : Soient P et Q deux polynômes de \mathbb{K}[X]. On dit que P et Q sont associés lossqu’il existe \lambda \in \mathbb{K}^{*} tel que P=\lambda Q.
Exemple 5 : X^{2}+i et i X^{2}-1 sont deux polynômes associés dans \mathbb{C}[X].
Remarque 3 : L’association de polynômes est une relation d’équivalence sur \mathbb{K}[X].
Proposition 4 : Soient A, B, P, Q quatre polymones de K[X]. i) A \mid P et B|Q \Rightarrow A B| P Q. ii) P \mid A et P|B \Rightarrow \forall R, S \in \mathbb{K}[X], P| R A+S B iii) P \mid A et A|Q \Rightarrow P| Q (On dit que la relation binaire « | » est transitive dans [X] ). iv) A \mid B et B \mid A \Leftrightarrow A et B sont associés. v) P|A \Rightarrow P| A B. vi) P Q|A \Rightarrow P| A et Q \mid A.
Démonstration : iv) « \Leftarrow » Trivial « \Rightarrowarrow » On suppose que A \mid B et B \mid A. Donc il existe deux polynômes R et Q de \mathbb{K}[X] tels que A=P B et B=Q A. Si A=0 alors B=Q \times 0=0. Donc A=1 \times B, ce qui signifie que A et B sont associés. Si A \neq 0 On a : A=P(Q A). Et en utilisant les degrés : \operatorname{deg}(A)=\operatorname{deg}(P)+\operatorname{deg}(Q)+\operatorname{deg}(A). Par la suite \operatorname{deg}(P)+\operatorname{deg}(Q)=0. Puisque \operatorname{deg}(P), \operatorname{deg}(Q) \in\{-\infty\} \cup \mathbb{N}, nécessairement \operatorname{deg}(P)=\operatorname{deg}(Q)=0. C’est-à-dire P, Q \in \mathbb{K}^{*}. Ce qui signifie que A et B sont associés.
Démonstration : Soient A, B \in \mathbb{K}[X] \backslash\{0\}. On suppose que A \mid B. Donc il existe P \in \mathbb{K}[X] \backslash\{0\} tel que B=P A. Donc \operatorname{deg}(B)=\operatorname{deg}(P A). Ainsi \operatorname{deg}(B)=\operatorname{deg}(P)+\operatorname{deg}(A). Puisque \operatorname{deg}(P) \geqslant 0 alors \operatorname{deg}(A) \leqslant \operatorname{deg}(B).
Démonstration : Soit B \in \mathbb{K}[X]^{*}. Si A=0, alors on a A=0 \cdot B+A et le couple (Q, R)=(0, A) convient. Montrons maintenant par récurrence forte que : \forall n \in \mathbb{N}, pour tout polynôme P de degré n dans \mathbb{K}[X], \exists !(Q, R) \in \mathbb{K}[X]^{2} tels que A=B Q+R et \operatorname{deg}(R)<\operatorname{deg}(B). Initialisation : pour n=0. Soit A un polynôme constant non nul de \mathbb{K}[X]. 1^{\text {er }} cas : Si \operatorname{deg}(B)>0. On a A=0 \cdot B+A, et le couple (Q, R)=(0, A) convient. 2^{\text {ème }} cas : Si \operatorname{deg}(\mathrm{B})=0. On a A=\frac{A}{B} \cdot B+0. Le couple (Q, R)=\left(\frac{A}{B}, 0\right) convient. On conclut que dans les deux cas la propriété est vraie pour n=0. Hérédité : Soit n \in \mathbb{N}. On suppose que la propriété est vraie pour tout k \in \llbracket 0, n \rrbracket. Soit \mathrm{A} un polynôme à coefficients dans \mathbb{K} de degré n+1. 1^{\text {er }} cas : \operatorname{Si} \operatorname{deg}(B)>n+1. A=0 \cdot B+A. Le couple (Q, R)=(0, A) convient. 2^{\text {ème }} cas : Si q=\operatorname{deg}(B) \leq n+1. On écrit A=\sum\limits_{k=0}^{n+1} a_{k} X^{k} et B=\sum\limits_{k=0}^{q} b_{k} X^{k}.
On a alors A=a_{n+1}^{-1} b_{q} X^{n+1-\mathrm{q}} B+A_{1}. On remarque que \operatorname{deg}\left(A_{1}\right)<\operatorname{deg}(A). \bullet Si A_{1}=0. Le couple (Q, R)=\left(a_{m+1}^{-1} b_{q} X^{n+1-q}, 0\right) convient. \bullet Si A_{1} \neq 0. En appliquant l’hypothèse de récurrence à A_{1}, il existe \left(Q_{1}, R_{1}\right) \in \mathbb{K}[X] tels que A_{1}=Q_{1} B+R_{1} et \operatorname{deg}\left(R_{1}\right)<\operatorname{deg}(B). On a alors A=a_{n+1}^{-1} b_{q} X^{n+1-\mathrm{q}} B+Q_{1} B+R_{1}. D’où A=\left(a_{n+1}^{-1} b_{q} X^{n+1-q}+Q_{1}\right) B+R_{1}. Le couple (Q, R)=\left(a_{n+1}^{-1} b_{q} X^{n+1-q}+Q_{1}, R_{1}\right) convient. On vient de montrer que, dans les deux cas, la propriété est vraie pour n+1. Conclusion : Par le principe de la récurrence forte, on a démontré le théorème de la division euclidienne.
On a : A=\left(X^{3}+X^{2}-2 X+2\right) \mathrm{B}-1. Le quotient de la division euclidienne de A par B est X^{3}+X^{2}-2 X+2. Le reste de la division euclidienne de A par B est -1.
Définition 3 : Soit P=\sum\limits_{k=0}^{n} a_{k} X^{k} un polynôme de \mathbb{K}[X]. On appelle fonction polynomiale associée à P la fonction \tilde{P}: \mathbb{K} \rightarrow \mathbb{K} définie pour tout x \in \mathbb{K} par \tilde{P}(x)=\sum\limits_{k=0}^{n} a_{k} x^{k} .
Exemple 7 : On pose P=X^{3}-2 X+1. \bullet Si on voit P comme un polynôme de \mathbb{R}[X] alors \tilde{P}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} définie pour tout x \in \mathbb{R} par : \tilde{P}(x)=x^{3}-2 x+1. \bullet Si on voit P comme un polynôme de \mathbb{C}[X] alors \tilde{P}: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} définie pour tout z \in \mathbb{C} par : \tilde{P}(z)=z^{3}-2 z+1.
Remarque 4 : Soient P, Q \in \mathbb{K}[X] et \lambda, \mu \in \mathbb{K}. On a : i) (\widetilde{P+\mu} Q)=\lambda \tilde{P}+\mu \tilde{Q}. ii) (\widetilde{P Q})=\tilde{P} \tilde{Q}.
Définition 4 : Soient P \in \mathbb{K}[X] et a \in \mathbb{K}. On appelle évaluation de P en a le nombre \tilde{P}(a). Par abus, de notation, on le note P(a).
Méthode de Horner pour l’évaluation polynomiale : Soient P=a_{0}+a_{1} X+\cdots+a_{n} X^{n} un polynôme de \mathbb{K}[X] et x \in \mathbb{K}. La méthode est la suivante : \bullet Calculer directement P(x) revient à faire \mathrm{n} addition et \frac{n(n+1)}{2} multiplication. \bullet On peut écrire P(x)=a_{0}+x\left(a_{1}+x\left(a_{2}+x\left(a_{3}+\cdots+x\left(a_{n-1}+x a_{n}\right) \ldots\right)\right.\right.. \bullet En commençant par la parenthèse la plus intérieure, il suffit de faire n additions et n multiplications.
Exemple 8 : On pose P=X^{6}-X^{5}+2 X^{4}-X^{3}+3 X^{2}+X-5. Calculer P(2).
Ainsi P(2)=65 .
Définition 5 : Soient a \in \mathbb{K} et P \in \mathbb{K}[X]. On dit que a est une racine (ou bien zéro) de P lorsque P(a)=0.
Exemple 9 : \bullet \ i est une racine de X^{2}+1. \bullet 1 est une racine de X-1. \bullet \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \forall k \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket, \ e^{\frac{2 i k \pi}{n}} est une racine de X^{n}-1.
Proposition 6 : Soient a \in \mathbb{K} et P \in \mathbb{K}[X]. a est une racine de P \Leftrightarrow X-a \mid P. Autrement dit : a est une racine de P \Leftrightarrow \exists Q \in \mathbb{K}[X], P=(X-a) Q.
Démonstration : " \Rightarrow " On suppose que a est une racine de P. Par division euclidienne de P par X-a, il existe (Q, R) \in \mathbb{K}[X] tels que P=(X-a) Q+R \text { et } \operatorname{deg}(R)<\operatorname{deg}(X-a)=1. Ainsi R \in \mathbb{K} et par la suite P(a)=R(a)=R=0. On conclut alors que P=(X-a) Q ce qui signifie que (X-a) \mid P. « \Rightarrow » Trivial.
Exemple 10 : On pose P=X^{3}-X+6. On a P(-2)=0 donc X+2 \mid P.
Proposition 7 : Soient P \in \mathbb{K}[X], n \in \mathbb{N}^{*} et a_{1}, \ldots, a_{n} des scalaires deux à deux distincts. a_{1}, \ldots, a_{n} sont des racines de P \Leftrightarrow \prod\limits_{i=1}^{n}\left(X-a_{i}\right) \mid P. Autrement dit : a_{n}, \ldots, a_{n} sont des racines de P \Leftrightarrow \exists Q \in \mathbb{K}[X], P=Q \prod\limits_{i=1}^{n}\left(X-a_{i}\right).
Démonstration : " \Rightarrow " Méthode 1 : On va montrer par récurrence que : \forall n \in \mathbb{N}^{*}, si P admet n racines b_{1}, \ldots, b_{n} deux à deux distinctes, alors \prod\limits_{i=1}^{n}\left(x-b_{i}\right) \mid P. \bullet Pour n=1 La propriété est vraie d’après la proposition précédente. \bullet Soit n \in \mathbb{N}^{*}. On suppose que la propriété est vraie pour n. On suppose que P admet n+1 racines deux à deux distinctes b_{1}, \ldots, b_{n+1}. D’après l’hypothèse de récurrence, , \exists Q \in \mathbb{K}[X], P=Q \prod\limits_{i=1}^{n}\left(X-b_{i}\right). On a P\left(b_{n+1}\right)=0=Q\left(b_{n+1}\right) \cdot \prod\limits_{i=1}^{n}\left(b_{n+1}-b_{i}\right). Puisque b_{1}, \ldots, b_{n+1} sont deux à deux distincts alors Q\left(b_{n+1}\right)=0. Donc \exists Q_{1} \in \mathbb{K}[X], Q=\left(X-b_{n+1}\right) Q_{1}. Ainsi P=Q_{1} \prod\limits_{i=1}^{n+1}\left(X-b_{i}\right) On conclut par le principe de la récurrence. Méthode 2 : On suppose que a_{n}, \ldots, a_{n} sont des racines de P. Ainsi \forall i \in \llbracket 1, n \rrbracket, X-a_{i} \mid P. Puisque a_{1}, \ldots, a_{n} deux à deux distincts, alors X-a_{1}, \ldots, X-a_{n} sont deux à deux premiers entre eux. On conclut finalement que \prod\limits_{i=1}^{n}\left(X-a_{i}\right) \mid P. " \Leftarrow " Trivial.
Corollaire 2 : Soit n \in \mathbb{N}. i) Un polynôme de degré n a au plus n racines deux à deux distinctes. ii) Un polynôme de degré inférieur ou égal à n et ayant au moins n+1 racines deux à deux distinctes est le polynôme nul. iii) Le seul polynôme qui admet une infinité de racines est le polynôme nul.
Démonstration : i) Soit P un polynorme de degré n. On suppose que P admet k racines deux à deux distinctes qu’on note a_{1}, \ldots, a_{k}. Alors \prod\limits_{i=1}^{k}\left(X-a_{i}\right) \mid P. Donc \operatorname{deg}\left(\prod\limits_{i=1}^{k}\left(X-a_{i}\right)\right) \leqslant \operatorname{deg}(P). Ainsi k \leqslant m. ii) Soit P un polynôme de degré inférieur ou égal à n. On suppose que P admet n+1 racines deux à deux distinctes qu’on note a_{1}, \ldots, a_{n+1}. Il existe Q \in \mathbb{K}[X] tel que P=Q \cdot \prod\limits_{i=1}^{n+1}\left(X-a_{i}\right). Donc \operatorname{deg}(P)=\operatorname{deg}(Q)+\operatorname{deg}\left(\prod\limits_{i=1}^{n+1}\left(X-a_{i}\right)\right)=\operatorname{deg}(Q)+n+1. Ceci n’est possible que lorsque \operatorname{deg}(P)=-\infty, ce qui signifie que P=0.
Détermination d’un polynôme par la fonction polynomiale associée : On note P_{\mathbb{K}} l’ensemble des fonctions polynomiales de \mathbb{K} vers \mathbb{K}. L’application \begin{matrix} \varphi &: &\mathbb{K}[X] &\ \rightarrow & P_{\mathbb{K}} \\ & &P &\rightarrow & \tilde{P} \end{matrix} est bijective.
Démonstration : Surjectivité : Soit f \in P_{\mathbb{K}}. Il existe a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n} des éléments de \mathbb{K} tels que \forall x \in \mathbb{K}, f(x)=\sum\limits_{i=0}^{n} a_{i} x^{i} On pose P=\sum\limits_{i=0}^{n} a_{i} X^{i}. Il est clair que \varphi(P)=\tilde{P}=f Donc f est surjective. Injectivité : Soient P, Q \in \mathbb{K}[X], tels que \varphi(P)=\varphi(Q). On a \tilde{P}=\tilde{Q} \operatorname{donc} \forall x \in \mathbb{K},(\tilde{P}-\tilde{Q})(x)=0 Donc \forall x \in \mathbb{K},(\widetilde{P-Q})(x)=0 Donc \forall x \in \mathbb{K},(P-Q)(x)=0 Ce qui signifie que P-Q admet une infinité de racines. Donc P-Q=0 ou encore P=Q. Ainsi f est injective. On conclut finalement que \varphi est bijective.
Remarque 5 : Grace à cette bijection, on peut identifier un polynôme avec sa fonction polynomiale associée.
Définition (Multiplicité d’une racine) : Soient P un polynôme non nul de \mathbb{K}[X] et a \in \mathbb{K}. \bullet On appelle ordre de multiplicité de a en tant que racine de P l’entier naturel m = \max \left\{k \in \mathbb{N} \mid (X-a)^{k} \mid P\right\}. \bullet Si m=0, on dit que a n’est pas une racine de P. \bullet Si m=1, on dit que a est une racine simple de P. \bullet Si m=2, on dit que a est une racine double de P. \bullet Si m \geqslant 2, On dit que a est une racine multiple de P.
Remarque 6 : a est une racine d’ordre m de P si et seulement si (X-a)^{m} \mid P et (X-a)^{m+1} \nmid P.
Exemple 11 : 1 est une racine double du polynôme X^{2}-2 X+1.
Proposition 8 : Soient P \in \mathbb{K}[X], a \in \mathbb{K}[/latex] et m \in \mathbb{N}^{*}. i) a est racine d’ordre au moins m de P si et seulement si \exists Q \in \mathbb{K}[X], P=(X-a)^{m} Q. ii) a est racine d’ordre m de P si et seulement si \exists Q \in \mathbb{K}[X], P=(X-a)^{m} Q avec Q(a) \neq 0.
Démonstration : i) Par définition ii) " \Rightarrow " On suppose que a est une racine d’ordre m de P. Donc (X-a)^{m} \mid P et (X-a)^{m+1} \nmid P. Il existe Q \in \mathbb{K}[X], P=(X-a)^{m} QOn suppose par l’absurde que Q(a)=0. Alors \exists Q_{1} \in \mathbb{K}[X], Q=(X-a) Q_{1}. Donc P=(X-a)^{m+1} Q_{1} et par la suite (X-a)^{m+1} \mid P ce qui est absurde. On a finalement Q(a) \neq 0. " \Leftarrow " On suppose que \exists Q \in \mathbb{K}[X], P=(X-a)^{m} Q avec Q(a) \neq 0. Donc (X-a)^{m} \mid P On suppose que (X-a)^{m+1} \mid P. Donc \exists Q_{1} \in \mathbb{K}[X], P=(X-a)^{m+1} Q_{1}. Ainsi (X-a)^{m} Q=(X-a)^{m+1} Q_{1}. Comme (\mathbb{K}[X],+, \times) est un anneau intègre, on peut simplifier par (X-a)^{m} et avoir Q=(X-a) Q_{1}. Et par la suite Q(a)=0 ce qui est absurde. Ainsi (x-a)^{m+1} \nmid P. On conclut alors que a est une racine d’ordre m de P.
Exemple 12 : On pose P=X(X+1)^{2}(X+2)^{3}. On a : \bullet 1 n’est pas une racine de P. \bullet 0 est une racine simple de P. \bullet \ -1 est une racine double de P. \bullet \ -2 est une racine d’ordre 3 de P.
Proposition 9 : Soient P \in \mathbb{K}[X], n \in \mathbb{N}^{*}, a_{1}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{K}, n scalaires deux à deux distincts et m_{1}, \ldots, m_{n} \in \mathbb{N}^{*}. Si \forall i \in \llbracket 1, n, \rrbracket, a_{i} est racine de P de multiplicité m_{i} alors \prod\limits_{i=1}^{n}\left(X-a_{i}\right)^{m_{i}} \mid P.
Démonstration : On suppose que \forall i \in \llbracket 1, n, \rrbracket, a_{i} est racine de P de multiplicité m_{i}. Donc \forall i \in \llbracket 1, n, \rrbracket,\left(X-a_{i}\right)^{m_{i}} \mid P. Puisque a_{1}, \ldots, a_{n} sont deux à deux distincts, alors X-a_{1}, \ldots, X-a_{n} sont deus à deux premiers entre eux. Donc \left(X-a_{1}\right)^{m_{1}}, \ldots,\left(X-a_{n}\right)^{m_{n}} sont deux à deux premiers entre eux. On conclut finalement que \prod\limits_{i=1}^{n}\left(X-a_{i}\right)^{m_{i}} \mid P.
Démonstration : Soient P \in \mathbb{K}[X], n \in \mathbb{N}^{*}, a_{1}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{K} racines, deux à deux distinctes, de P de multiplicités respectives m_{1}, \ldots, m_{n} \in \mathbb{N}^{*}. Donc \prod\limits_{i=1}^{n}\left(X-a_{i}\right)^{m_{i}} \mid P et par la suite \operatorname{deg}\left(\prod\limits_{i=1}^{n}\left(X-a_{i}\right)^{m_{i}}\right) \leqslant \operatorname{deg}(P). Donc \sum\limits_{i=1}^{n} \operatorname{deg}\left(X-a_{i}\right)^{m_{i}} \leqslant n, ce qui prouve que \sum\limits_{i=1}^{n} m_{i} \leqslant n.
Exemple 13 : On pose P=(X-1)(X+1)^{3}(X-3)^{2}. Le polynôme P possède : \bullet 3 racines deux à deux distinctes: 1 ;-1 ; 3. \bullet 6 racines comptées avec leur ordre de multiplicité : 1 ;-1 ;-1 ;-1 ; 3 ; 3.
Définition (polynôme scindé) : Soit P un polynône de degré n \in \mathbb{N}^{*} dans \mathbb{K}[X]. On dit que P est scindé sur \mathbb{K}[X] lorsqu’il s’écrit sous la forme d’un produit de n polynômes de degrés 1 dans \mathbb{K}[X].
Exemple 14 : \bullet Le polynôme P=3 X(X+1)^{2}(X-1)^{3} est scindé sur \mathbb{R}[X] car P=3 X(X+1)(X+1)(X-1)(X-1)(X-1). \bullet Soit n \in \mathbb{N}^{*}, le polynôme X^{n}-1 est scindé \operatorname{sur} \mathbb{C}[X] \operatorname{car} X^{n}-1=\prod\limits_{k=0}^{n-1}\left(X-e^{\frac{2 \mathrm{i} k \pi}{n}}\right).
Remarque 7 : i) La notion de polynôme scindé dépend du corps considéré. En effet, X^{2}+1 est scindé \operatorname{sur} \mathbb{C}[X] car X^{2}+1=(X-i)(X+i), mais X^{2}+1 n’est pas scindé sur \mathbb{R}[X]. ii) Un polynôme, non constant, est scindé sur \mathbb{K}[X] si et seulement si le nombre de ses racines, comptées avec leurs ordres de multiplicité est égal à son degré.
Définition (Fonctions symétriques élémentaires) : Soient n \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\} et x_{1}, \ldots, x_{n} \in \mathbb{K}. Pour tout k \in \llbracket 0, n \rrbracket, on note \sigma_{k}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\sum\limits_{i_{1}<i_{2}<\cdots<i_{k}} x_{i_{1}} x_{i_{2}} \ldots x_{i_{k}} (Somme des produits k à k ). S’il n’y a pas d’ambiguïté, on note juste \sigma_{k}. Les \sigma_{k} sont appelées les fonctions symétriques élémentaires de x_{1}, \ldots, x_{n}.
Exemple 18 : i) Pour n=2 : Les deux fonctions symétriques élémentaires de x_{1}, x_{2} \in \mathbb{K} sont : \sigma_{1}=x_{1}+x_{2} \text { et } \sigma_{2}=x_{1} x_{2}. ii) Pour n=3 : Les trois fonctions symétriques élémentaires de x_{1}, x_{2}, x_{3} \in \mathbb{K} sont : \sigma_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3}. \sigma_{2}=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}. \sigma_{3}=x_{1} x_{2} x_{3}. iii) Pour n=4 : Les quatre fonctions symétriques élémentaires de x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in \mathbb{K} sont : \sigma_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} . \sigma_{2}=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{1} x_{4}+x_{2} x_{3}+x_{2} x_{4}+x_{3} x_{4}. \sigma_{3}=x_{1} x_{2} x_{3}+x_{1} x_{2} x_{4}+x_{1} x_{3} x_{4}+x_{2} x_{3} x_{4}. \sigma_{4}=x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}.
Relation entre coefficients et racines d’un polynôme scindé. (Formules de Viète) : Soient P=\sum\limits_{k=0}^{n} a_{k} X^{k} un polynóme scindé de degré n \in \mathbb{N}^{*},\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{K}^{n} et \sigma_{1}, \ldots, \sigma_{n} les fonctions symétriques élémentaires de x_{1}, \ldots, x_{n}. Alors : x_{n}, \ldots, x_{n} sont les racines (distinctes ou confondues) de P si et seulement si \forall k \in \llbracket 1, n \rrbracket, \sigma_{k}=(-1)^{k} \frac{a_{n-k}}{a_{n}}.
Démonstration : x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} sont les racines de P \Leftrightarrow P=a_{n}\left(X-x_{1}\right) \times \ldots \times\left(X-x_{n}\right). x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} sont les racines de P \Leftrightarrow a_{n}\left(X^{n}+\frac{a_{n-1}}{a_{n}} X^{n-1}+\cdots+\frac{a_{0}}{a_{n}}\right)=a_{n}\left(X-x_{1}\right) \times \ldots \times\left(X-x_{n}\right). x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} sont les racines de P \Leftrightarrow \forall k \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket, \frac{a_{k}}{a_{n}}=(-1)^{n-k} \sigma_{n-k}. x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} sont les racines de P \Leftrightarrow \forall k \in \llbracket 1, n \rrbracket, \sigma_{k}=(-1)^{k} \frac{a_{n-k}}{a_{n}}.
Exercice d’application 2 : Résoudre dans \mathbb{C}^{3} le système : (S) \left\{\begin{array}{l}x+y+z=-2 \\ x y+x z+y z=-1 \\ x y z=2\end{array}\right.
Corrigé : On note \sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3} les fonctions symétriques élémentaires en x_{1}, x_{2}, x_{3}. \left(x_{1}, x_{1}, x_{3}\right) est solution du système (S) \Leftrightarrow \begin{cases}\sigma_{1}=-2 \\ \sigma_{2}=-1 \\ \sigma_{3}=2\end{cases} \left(x_{1}, x_{1}, x_{3}\right) est solution du système (S) \Leftrightarrow x_{1}, x_{2}, x_{3} sont les racines du polynôme X^{3}+2 X^{2}-X-2 \left(x_{1}, x_{1}, x_{3}\right) est solution du système (S) \Leftrightarrow x_{1}, x_{2}, x_{3} \in\{-1 ; 1 ;-2\} On conclut que l’ensemble des solutions du système (S) est : S=\{(-1,1,-2),(-1,-2,1),(1,-1,-2),(1,-2,-1),(-2,1,-1),(-2,-1,1)\} Qu’on peut écrire aussi, en utilisant le groupe symétrique S_{3} comme suit : S=\left\{\left(b_{\sigma(1)}, b_{\sigma(2)}, b_{\sigma(3)}\right) / b_{1}=-1, b_{2}=1, b_{3}=-2\right. et \left.\sigma \in S_{3}\right\}
Corrigé : Les n racines n-ièmes de 1 sont \omega_{k}=e^{\frac{2 i k \pi}{n}} avec k \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket. Elles sont les racines du polynôme X^{n}-1. \prod\limits_{k=0}^{n-1} \omega_{k}=\sigma_{n}=(-1)^{n} \frac{a_{0}}{a_{n}}=-(-1)^{n}=(-1)^{n+1} \sum\limits_{k=0}^{n-1} \omega_{k}=\sigma_{1}=(-1)^{n} \frac{a_{n-1}}{a_{n}}=0
Proposition-définition : Soit (A, B) \in \mathbb{K}[X]^{2} \backslash\{(0,0)\}. Il existe un unique polynôme unitaire de \mathbb{K}[X] tel que D(A) \cap D(B)=D(P). On dit que P est le pgcd de A et B et on note P=A \wedge B ou P=\operatorname{pgcd}(A, B).
Démonstration : Existence : On applique l’algorithme d’Euclide au couple (A, B). On note P_{1} le dernier reste non nul dans la suite des divisions euclidiennes de cet algorithme. Puis on pose c d\left(P_{1}\right) le coefficients dominant de P_{1} et P=\frac{1}{c d\left(P_{1}\right)} P_{1}. Il est clair que P est unitaire et D(A) \cap D(B)=D(P). Unicité : On suppose qu’il existe P_{1}, P_{2} deux polynômes unitaires de \mathbb{K}[X] tels que D(A) \cap D(B)=D\left(P_{1}\right)=D\left(P_{2}\right). Donc P_{1} \mid P_{2} et P_{2} \mid P_{1} ce qui signifie que P_{1} et P_{2} sont associés et comme ils sont unitaires, P_{1}=P_{2}.
Remarque 9 : i) On convient que 0 \wedge 0=0. ii) \forall A, B \in \mathbb{K}[X], \forall P \in \mathbb{K}[X], \quad P \mid A et P|B \Leftrightarrow P| A \wedge B. iii) On peut par abus de langage appeler pgcd de A et B tout polynôme associé à A \wedge B. iv) Soient A, B \in \mathbb{K}[X]^{2} \backslash\{(0,0)\} . A \wedge B est le polynôme unitaire de plus grand degré qui divise à la fois A et B. En effet, si Q est un polynôme unitaine qui divise à la fois A et B alors Q \mid A \wedge B et par conséquent \operatorname{deg}(Q) \leqslant \operatorname{deg}(A \wedge B). Et si \operatorname{deg}(Q)=\operatorname{deg}(A \wedge B) alors Q est associé à A \wedge B et comme ils sont unitaires Q=A_{1} B.
Exemple 19 : i) 2 \wedge 2=1 dans \mathbb{K}[X]. ii) X-1 \wedge X^{2}-1=X-1. iii) 0 \wedge X^{2}+1=X^{2}+1. iv) (X-1)^{2}(X+1)^{3} \wedge(X-1)(X+1)^{2}=(X-1)(X+1)^{2}.
Exercice d’application 4 : Déterminer le pgcd de X^{4}-X^{2}+1 et X^{4}+X^{3}+1.
Exemple 20 : Trouver U, V \in \mathbb{K}[\mathrm{X}] tels que \left(X^{4}+X^{3}+1\right) U+\left(X^{4}-X^{2}+1\right) V=1. On a : 1=X^{4}+X^{3}+1-(X-1)\left(X^{3}+X^{2}\right) . 1=\left(X^{4}-X^{2}+1\right)-(X-1)\left(X^{4}+X^{3}+1-\left(X^{4}-X^{2}+1\right)\right) . 1=X\left(X^{4}-X^{2}+1\right)-(X-1)\left(X^{4}+X^{3}+1\right) .
Proposition 10 : \forall A, B \in \mathbb{K}[X]^{2} \backslash\{(0,0)\}, \forall P \in \mathbb{K}[X] \backslash\{0\}, P A \wedge P B=\frac{1}{c d(P)} P(A \wedge B)
Proposition-définition : Soient A, B \in \mathbb{K}[X] \backslash\{0\}. Il existe un unique polynôme unitaire M vérifiant A. \mathbb{K}[\mathrm{X}] \cap B . \mathbb{K}[\mathrm{X}]=M . \mathbb{K}[\mathrm{X}]. On dit que M est le ppcm de A et B et on le note \operatorname{ppcm}(A, B) ou A \vee B.
Démonstration : Existence : On pose E=\{\operatorname{deg}(P) \mid P \in A . \mathbb{K}[\mathrm{X}] \cap B . \mathbb{K}[\mathrm{X}] \backslash\{0\}\}. E est une partie non vide (A B \in E) de \mathbb{N}. Donc \mathrm{E} admet un plus petit élément. Il existe alors un polynôme M de degré \min (E) tel que M \in A . \mathbb{K}[\mathrm{X}] \cap B . \mathbb{K}[\mathrm{X}] \backslash\{0\}. Quitte à diviser M par son coefficient dominant on peut supposer que M est unitaire. Montrons maintenant que A . \mathbb{K}[\mathrm{X}] \cap B . \mathbb{K}[\mathrm{X}]=M . \mathbb{K}[\mathrm{X}]. « \supset » Soit P \in M . \mathbb{K}[\mathrm{X}]. \exists Q \in \mathbb{K}[X], P=M Q. On a M \in \mathrm{A} . \mathbb{K}[\mathrm{X}] \cap B . \mathbb{K}[\mathrm{X}]. Donc \exists Q_{1}, Q_{2} \in \mathbb{K}[X], M=A Q_{1}=B Q_{2}. Ainsi P=M Q=A Q_{1} Q=B Q_{2} Q. Ce qui signifie que P \in \mathbb{K}[\mathrm{X}] \cap B . \mathbb{K}[\mathrm{X}]. On vient de monter que M . \mathbb{K}[\mathrm{X}] \subset \mathrm{A} . \mathbb{K}[\mathrm{X}] \cap B . \mathbb{K}[\mathrm{X}]. « \subset » Soit P \in \mathrm{A} . \mathbb{K}[\mathrm{X}] \cap B . \mathbb{K}[\mathrm{X}]. Par division euclidienne il existe (Q, R) \in \mathbb{K}[X]^{2}, P=Q \cdot M+R et \operatorname{deg}(R)<\operatorname{deg}(M). On remarque que R \in \mathrm{A}. \mathbb{K}[\mathrm{X}] \cap B . \mathbb{K}[\mathrm{X}] donc R=0 par minimalité du degré de R. Ce qui signifie que P \in M. \mathbb{K}[\mathrm{X}]. On vient de montrer alors que \mathrm{A} . \mathbb{K}[\mathrm{X}] \cap B . \mathbb{K}[\mathrm{X}] \subset M . \mathbb{K}[\mathrm{X}]. On conclut alors que \mathrm{A} . \mathbb{K}[\mathrm{X}] \cap B . \mathbb{K}[\mathrm{X}]=M . \mathbb{K}[\mathrm{X}]. Unicité : On suppose qu’il existe deux polynômes unitaires M_{1} et M_{2} tels que : \mathrm{A} \cdot \mathbb{K}[\mathrm{X}] \cap B \cdot \mathbb{K}[\mathrm{X}]=M_{1} \cdot \mathbb{K}[\mathrm{X}]=M_{2} \cdot \mathbb{K}[\mathrm{X}]. Donc M_{1} \mid M_{2} et M_{2} \mid M_{1} ce qui signifie que M_{1} et M_{2} sont associés et comme M_{1} et M_{2} sont unitaires, on a M_{1}=M_{2}.
Remarque 10 : i) On convient que \forall P \in \mathbb{K}[\mathrm{X}], P \vee 0=0. ii) \forall A, B \in \mathbb{K}[X], \forall M \in K[X], A \mid M et B|M \Leftrightarrow A \vee B| M. iii) On peut par abus de langage appeler ppcm de A et B tout polynôme associé à A \vee B. iv) Soient A, B \in \mathbb{K}[\mathrm{X}] \backslash\{0\}. A \vee B est le polynôme unitaire de plus petit degré qui à la fois multiple de A et de B.
Proposition – définition : i) Soient n \in \mathbb{N} \backslash\{0 ; 1\} et P_{1}, \ldots, P_{n} des polynômes de \mathbb{K}[X] non tous nuls. Il existe un unique polynôme unitaire \Delta dans \mathbb{K}[X] tel que \bigcap_{i=1}^{n} D_{i}\left(P_{i}\right)=D(\Delta). \Delta est appelé le plus grand diviseur commun de P_{1}, \ldots . P_{n} et on le note \operatorname{pgcd}\left(P_{1}, \ldots, P_{n}\right) ou P_{1} \wedge P_{2} \wedge \ldots \wedge P_{n}. ii) Soient n \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\} et P_{1}, \ldots, P_{n} \in \mathbb{K}[X] \backslash\{0\}. Il existe un unique polynôme unitaire M dans \mathbb{K}[X] tel que \bigcap_{i=1}^{n} P_{i} . \mathbb{K}[X]=M. \mathbb{K}[X]. M est appelé le plus grand diviseur commun de P_{1}, \ldots . P_{n} et on le note \operatorname{ppcm}\left(P_{1}, \ldots, P_{n}\right) ou P_{1} \vee P_{2} \vee \ldots \vee P_{n}.
Définition (Polynômes premiers entre eux) : On dit que deux polynômes de \mathbb{K}[X] sont premiers entre eux lorsque leur pgcd vaut 1 .
Proposition 11 : Soient a, b \in \mathbb{K}. Si a \neq b alors X-a \wedge X-b=1.
Démonstration : On pose \Delta=\operatorname{pgcd}(X-a, X-b). On a \Delta \mid X-a et \Delta \mid X-b donc \Delta \mid(X-a)-(X-b). Ainsi \Delta \mid b-a donc \Delta=1.
Définition 6 : Soient n \in \mathbb{N} \backslash\{0 ; 1\} et P_{1}, \ldots, P_{n} \in \mathbb{K}[X]. \bullet On dit que P_{1}, \ldots, P_{n} sont premiers entre eux dans leur ensemble lorsque \operatorname{pgcd}\left(P_{1}, \ldots, P_{1}\right)=1. \bullet On dit que P_{1}, \ldots, P_{1} sont deux à deux premiers entre eux lorsque : \forall i, j \in \llbracket 1, n \rrbracket,\quad i \neq j \Rightarrow P_{i} \capP_{j}=1.
Remarque 11 : Si P_{1}, \ldots, P_{n} sont n polynômes deux à deux premiers entre eux alors ils sont premiers entre eux dans leur ensemble.
Théorème de Bézout : \forall P, Q \in \mathbb{K}[X], \quad P \wedge Q=1 \Leftrightarrow \exists U, V \in \mathbb{K}[X], P U+Q V=1.
Théorème de Gauss : \forall A, B, C \in \mathbb{K}[X], \quad A \mid B C et A \wedge B=1 \Rightarrow A \mid C.
Lemme d’Euclide : \forall A, B, C \in \mathbb{K}[X], \quad A \mid C et B \mid C et A \cap B=1 \Rightarrow A B \mid C.
Proposition 12 : Soient A, P_{1}, \ldots, P_{n} \in \mathbb{K}[X]. i) \forall i \in \llbracket 1, n \rrbracket, \quad A \wedge P_{i}=1 \Leftrightarrow A \wedge \prod\limits_{i=1}^{n} P_{i}=1 ii) Si P_{1}, \ldots, P_{n} Sont deux à deux premiers entre eux alors : \left(\forall i \in \llbracket 1, n \rrbracket, P_{i} \mid A\right) \Leftrightarrow \prod\limits_{i=1}^{n} P_{i} \mid A.
Proposition 13 : Soient A, B \in \mathbb{K}[X] \backslash\{0\}. On note c d(A B) le coefficient dominant du polynôme A B. (A \wedge B)(A \vee B)=\frac{1}{\operatorname{cd}(A B)} A B.
V) Dérivation :
Définition 7 : Soient n \in \mathbb{N} et P=\sum\limits_{k=0}^{n} a_{k} X^{k} un polynôme de \mathbb{K}[X]. On appelle polynôme dérivé de P, et on note P^{\prime}, le polynôme définit par : P^{\prime}= \begin{cases}\sum\limits_{k=1}^{n} k a_{k} X^{k-1} & \text { si } n \geqslant 1 \\ 0 & \text { si } n=0\end{cases}.
Exemple 22 : \left(2 X^{3}-X^{2}+3 X-5\right)^{\prime}=6 X^{2}-2 X+3
Remarque 12 : Pour tout polynôme P à coefficients dans \mathbb{R}, on a \widetilde{P^{\prime}}=(\widetilde{P})^{\prime}
Proposition 14 : Soit P un polynôme de \mathbb{K}[X]. i) \operatorname{deg}(P) \geqslant 1 \Rightarrow \operatorname{deg}\left(P^{\prime}\right)=\operatorname{deg}(P)-1. ii) P constant \Leftrightarrow P^{\prime}=0.
Démonstration : i) Trivial ii) » \Rightarrow « Par définition du polynôme dérivé. " \Leftarrow " On suppose que P n’est pas constant. Donc \operatorname{deg}(P) \geqslant 1 d’où \operatorname{deg}\left(P^{\prime}\right)=\operatorname{deg}(P)-1 \geqslant 0. Ce qui signifie que P^{\prime} \neq 0. Par contraposée P^{\prime}=0 \Rightarrow P est constant.
Opérations sur les polynômes dérivés : Soient P, Q \in \mathbb{K}[X] et \lambda, u \in \mathbb{K}. i) (\lambda P+\mu Q)^{\prime}=\lambda P^{\prime}+\mu Q^{\prime}. ii) (P Q)^{\prime}=P^{\prime} Q+P Q^{\prime}. iii) (P \circ Q)^{\prime}=Q^{\prime} \cdot\left(P^{\prime} \circ Q\right)
Définition (Dérivée successives d’un polynôme) : Soit P \in \mathbb{K}[X]. Pour tout entier naturel n, on définit la dérivée n-ième (ou d’ordre n ) de P, qu’on note P^{(n)}, par : P^{(0)}=P et \forall n \in \mathbb{N}, P^{(n+1)}=\left(P^{(n)}\right)^{\prime}.
Exemple 23 : \forall n, k \in \mathbb{N},\quad \left(X^{n}\right)^{(k)}= \begin{cases}\frac{n !}{(n-k) !} X^{n-k} & \text { si } k \leqslant n \\ 0 & \text { si } k>n\end{cases}
Formule de Leibniz pour les polynômes : Soient P, Q \in \mathbb{K}[X] et n un entier naturel. (P Q)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} P^{(k)} Q^{(n-k)}
Formule de Taylor pour les polynômes : Soient a \in \mathbb{K} et P un polynôme, de degré n \in \mathbb{N}, dans \mathbb{K}[X]. P=\sum\limits_{k=0}^{m} \frac{P^{(k)}(a)}{k !}(x-a)^{k}
Démonstration : On va démontrer cette propriété par récurrence : \bullet Pour n=0, la propriété est vraie. \bullet Soit n \in \mathbb{N}. On suppose que la propriété est vraie à l’ordre n. Soit P un polynôme de degré n+1. Puisque \operatorname{deg}\left(P^{\prime}\right)=n, on peut appliquer l’hypothèse de récurrence à P^{\prime}. P^{\prime}=\sum\limits_{k=0}^{n} \frac{\left(P^{\prime}\right)^{(k)}(a)}{k !}(X-a)^{k} P^{\prime}=\sum\limits_{k=0}^{n} \frac{P^{(k+1)}(a)}{k !}(X-a)^{k} On pose Q=\sum\limits_{k=0}^{n+1} \frac{P^{(k)}(a)}{k !}(X-a)^{k}. On a Q^{\prime}=\sum\limits_{k=1}^{n+1} k \frac{P^{(\mathrm{k})}(a)}{k !}(X-a)^{k-1}=\sum\limits_{k=0}^{n} \frac{P^{(k+1)}(a)}{k !}(X-a)^{k} On voit que P^{\prime}=Q^{\prime}, donc (P-Q)^{\prime}=0. Ce qui signifie que P-Q est un polynôme constant. Ainsi P-Q=(P-Q)(a)=P(a)-Q(a)=P(a)-P(a)=0. On en déduit que P=Q. \bullet Conclusion : On vient de démontrer la formule de Taylor pour les polynômes grâce au principe de la récurrence.
Remarque 13 : Soit P un polynôme de degré n \in \mathbb{N} dans \mathbb{K}[X]. On note P=\sum\limits_{k=0}^{n} a_{k} X^{k}. En appliquant la formule de Taylor avec a=0, on trouve : P=\sum\limits_{k=0}^{n} \frac{P^{(k)}(0)}{k !} X^{k}. En identifiant les coefficients de P on conclut que \forall k \in \llbracket 0, n \rrbracket, \quad a_{k}=\frac{P^{(k)}(0)}{k !}.
Caractérisation de la multiplicité d’une racine par les polynômes dérivés successives. Soient P \in \mathbb{K}[X], a \in \mathbb{K} et m \in \mathbb{N}^{*}. a est une racine d’ordre m de P si et seulement si \forall i \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket, P^{(i)}(a)=0 et P^{(n)}(a) \neq 0.
Démonstration : " \Rightarrow" On suppose que a est une racine d’ordre m de P. Donc \exists Q \in \mathbb{K}[X], P=(X-a)^{m} Q avec Q(a) \neq 0. Soit i \in \llbracket 0, m \rrbracket, on a : P^{(i)}=\left(\sum\limits_{k=0}^{i}\binom{i}{k}\left[(X-a)^{m}\right]^{(k)} Q^{(i-k)}\right)=\left(\sum\limits_{k=0}^{i} \binom{i}{k} \frac{m !}{(m-k) !}(X-a)^{m-k} Q^{(i-k)}\right). Donc \forall i \in \llbracket 0, m-1 \rrbracket, P^{(i)}(a)=0 et P^{(m)}(a)=m ! Q(a) \neq 0. " \Leftarrow " On suppose que \forall i \in \llbracket 0, m-1 \rrbracket, P^{(i)}(a)=0 et P^{(m)}(a) \neq 0. On note n=\operatorname{deg}(P). Puisque P^{(m)}(a) \neq 0 alors m \leqslant n. Par la formule de Taylor pour les polynômes : \mathrm{P}=\sum\limits_{i=0}^{n} \frac{P^{(i)}(a)}{i !}(X-a)^{i}=\sum\limits_{i=m}^{n} \frac{P^{(i)}(a)}{i !}(X-a)^{i}=(X-a)^{m} \sum\limits_{i=m}^{n} \frac{P^{(i)}(a)}{i !}(X-a)^{i-m} . On note Q=\sum\limits_{i=m}^{n} \frac{P^{(i)}(a)}{i !}(X-a)^{i-m}. On a P=(X-a)^{m} Q avec Q(a)=\frac{P^{(m)}(a)}{m !} \neq 0. On conclut alors que a est une racine d’ordre m de P.
Exercice d’application 5 : On pose P=X^{4}-2 X^{3}-3 X^{2}+8 X-4. 1) Montrer que 1 est une racine de P et déterminer sa multiplicité. 2) Montrer que 2 est une racine de P et déterminer sa multiplicité.
Corrigé : 1) P(1)=1-2-3+8-4=0 P^{\prime}=4 X^{3}-6 X^{2}-6 X+8 P^{\prime}(1)=4-6-6+8=0 P^{\prime \prime}=12 X^{2}-12 X-6 P^{\prime \prime}(1)=12-12-6=-6 \neq 0 Donc 1 est une racine d’ordre 2 (racine double) de P. 2) P(2)=16-16-12+16-4=0 P^{\prime}(2)=32-24-12=-4 \neq 0 Donc 2 et une racine d’ordre 1 (racine simple) de P.
Exercice d’application 6 : Soient n un entier naturel non nul et P_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n} \frac{1}{k !} X^{k} un polynôme de \mathbb{K}[X]. Montrer que P_{n} n’a pas de racines multiples.
On suppose que P_{n} admet une racine multiple qu’on notera a. On a alors P_{n}(a)=0 et P_{n}^{\prime}(a)=0. Donc \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{1}{k !} a^{k}=0 et \sum\limits_{k=0}^{n-1} \frac{1}{k !} a^{k}=0 Ainsi \frac{a^{n}}{n !}=0 ce qui signifie que a=0. Ceci est absurde car P_{n}(0)=1. On conclut donc que P_{n} n’admet pas de racines multiples.
VI) Polynômes irréductibles de \mathbb{C}[X] et de \mathbb{R}[X].
Théorème de d’Alembert-Gauss (Théorème fondamental de l’algèbre) : Tout polynôme non constant de \mathbb{C}[X] admet an moins une racine dans \mathbb{C}.
Remarque 14 : On dit que \mathbb{C} est algébriquement clos.
Corollaire 4 : Tout polynôme, non constant, de \mathbb{C}[X] est scindé sur \mathbb{C}[X].
Définition (Polynôme irréductible dans \mathbb{K}[X] ) : Soit P \in \mathbb{K}[X]. On dit que P est irréductible dans \mathbb{K}[X] lorsque \operatorname{deg}(P) \geqslant 1 et les seuls diviseurs de P dans \mathbb{K}[X] sont les polynômes constants non nuls et les polynômes associés à P.
Remarque 15 : Soit P un polynôme non constant de \mathbb{K}[X]. P est irréductible dans \mathbb{K}[X] si et seulement si \forall A, B \in \mathbb{K}[X], \quad P=A B \Rightarrow \operatorname{deg}(A)=0 ou \operatorname{deg}(B)=0.
Proposition 15 : Soient A et B deux polynômes de \mathbb{K}[X] et P un polynôme irréductible dans \mathbb{K}[X]. Si P \mid A B alors P \mid A ou P \mid B.
Démonstration : On va utiliser une démonstration par la contraposée. On suppose que P \nmid A et P \nmid B. Donc P \wedge A=1 et P \wedge B=1. Donc P \wedge A B=1 Ainsi P \nmid A B. Par contraposée on déduit que P|A B \Rightarrow P| A ou P \mid B.
Démonstration : Soit P un polynôme de degré 1 dans \mathbb{K}[X]. Méthode 1 : Soit Q un diviseur non constant de P dans \mathbb{K}[X]. Puisque Q est non constant alors \operatorname{deg}(Q) \geqslant 1. Puisque Q \mid P alors \operatorname{deg}(Q) \leqslant \operatorname{deg}(P)=1. On en déduit que \operatorname{deg}(Q)=1=\operatorname{deg}(P). Soit Q=c X+d avec (c, d) \in \mathbb{K}^{*} \times \mathbb{K}. Puisque Q \mid P alors \exists A \in \mathbb{K}[X], P=A.Q. Donc \operatorname{deg}(P)=\operatorname{deg}(A)+\operatorname{deg}(B) et par la suite \operatorname{deg}(A)=0, ce qui signifie que A \in \mathbb{K}^{*}. Ainsi P et Q sont associés. On conclut que P est irréductible dans \mathrm{K}[X]. Méthode 2 : On suppose qu’il existe A, B \in \mathbb{K}[X] \backslash\{0\} tels que P=A B. On a 1=\operatorname{deg}(P)=\operatorname{deg}(AB)=\operatorname{deg}(A)+\operatorname{deg}(B). Puisque \operatorname{deg}(A), \operatorname{deg}(B) \in \mathbb{N} alors \operatorname{deg}(A)=0 ou \operatorname{deg}(B)=0. On conclut alors que P est irréductible.
Remarque 16 : i) Soit P un polynôme scindé dans \mathbb{K}[X]. On a : P est irréductible dans \mathbb{K}[X] \Leftrightarrow \operatorname{deg}(P)=1. ii) La notion de polynôme irréductible dépend du corps \mathbb{K}. Par exemple X^{2}+1 est irréductible dans \mathbb{R}[X] mais X^{2}+1 n’est pas irréductible sur \mathbb{C}[X].
Proposition 17 : i) Les polynômes irréductibles dans \mathbb{C}[X] sont les polynômes de degré 1 . ii) Les polynômes irréductibles dans \mathbb{R}[X] sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 à discriminant strictement négatif.
Démonstration : i) Tout polynôme non constant est scindé dans \mathbb{C}[X]. Donc un polynôme est irréductible dans \mathbb{C}[X] si et seulement si il est de degré 1 . ii) Soit P un polynôme de \mathbb{R}[X]. \bullet Si \operatorname{deg}(P) \leqslant 0 alors par définition P n’est pas irréductible. \bullet Si \operatorname{deg}(P)=1 alors P est irréductible. \bullet Si \operatorname{deg}(P)=2. 1^{er} cas : Si \Delta \geqslant 0 alors P admet une racine réelle a. Donc X-a \mid P et par la suite P n’est pas irréductible. 2^{\text {ème }} cas : Si \Delta<0. On suppose qu’il existe A, B \in \mathbb{R}[X] tels que P=A B. 2=\operatorname{deg}(P)=\operatorname{deg}(A B)=\operatorname{deg}(A)+\operatorname{deg}(B). Si \operatorname{deg}(A)=\operatorname{deg}(B)=1 alors P admet une racine réelle ce qui est absurde. Donc \operatorname{deg}(A)=0 ou \operatorname{deg}(B)=0. Autrement dit P et irréductible dans \mathbb{R}[X]. \bullet Si \operatorname{deg}(P) \geqslant 3. P admet une racine qu’on notera a, dans C. 1^{\text {er }} Cas : Si a \in \mathbb{R}. X-a \mid P et par la suite P n’est pas irréductible dans \mathbb{R}[X]. 2^{\text {ème }} cas : Si a \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R}. \bar{a} est aussi une racine de P distincte de a. On a alors X-a \mid P et X-\bar{a} \mid P avec X-a \wedge X-\bar{a}=1. Donc (X-a)(X-\bar{a}) \mid P et par la suite X^{2}-2 \operatorname{Re}(a) X+|a|^{2} \mid P. Et par la suite P n’est pas irréductible dans \mathbb{R}[X].
Théorème de la décomposition en facteurs irréductibles : Pour tout polynôme, non constant, A dans \mathrm{K}[X], il existe P_{1}, \ldots, P_{s} s polynômes unitaires et irréductibles dans \mathrm{K}[X] tels que A=\operatorname{cd}(A) \prod\limits_{i=1}^{\mathrm{s}} P_{i}. De plus P_{1}, \ldots, P_{s} sont uniques à l’ordre près des facteurs.
Démonstration : Existence : On va démonter le résultat pan récurrence sur le degré de A. \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \forall A un polynôme de degré n dans \mathbb{K}[X], \exists s \in \mathbb{N}^{*}, il existe P_{1}, \ldots, P_{s} des polynômes unitaires et irréductibles dans \mathbb{K}[X], tels que A=\operatorname{cd}(A) \prod\limits_{i=1}^{s} P_{i}. \bullet Pour \operatorname{deg}(A)=1. A est irréductible et A=\operatorname{cd}(A) \cdot \frac{1}{\operatorname{cd}(A)} A. \bullet Soit n \in \mathbb{N}^{*}. On suppose que la propriété est vraie \forall k \in \llbracket 1, n \rrbracket. Soit A un polynôme de degré n+1 dans \mathbb{K}[X]. 1^{\text {er }} cas : Si A est irréductible alors A=\operatorname{cd}(A) \cdot \frac{1}{\operatorname{cd}(A)} A. 2^{\text {ème }} cas : Si A n’est pas irréductible alors il existe \mathrm{A}_{1} et A_{2} deux polynômes de degré dans \llbracket 1, n \rrbracket tels que A=A_{1} A_{2}. On arrive à notre objectif en appliquant l’hypothèse de récurrence à A_{1} et A_{2}. D’où la partie existence. Unicité : La démonstration de l’unicité est identique à celle de la décomposition primaire dans \mathbb{Z}.
Corollaire 5 : Tout polynôme non constant A de \mathbb{C}[X] s’écrit de manière unique, sous la forme : A=c d(A) \prod\limits_{k=1}^{s}\left(X-a_{k}\right)^{m_{k}} Avec a_{1}, \ldots, a_{s} sont des nombres complexes deux à deux distincts et m_{1}, \ldots, m_{s} sont des entiers naturels non nuls.
Exemple 24 : Soit n \in \mathbb{N}^{*}. On pose \forall k \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket, \omega_{k}=e^{\frac{2 \mathrm{i} k \pi}{n}}. On a X^{n}-1=\prod\limits_{k=0}^{n-1}\left(X-\omega_{k}\right)
Corollaire 6 : Tout polynôme non constant \mathrm{A} de \mathbb{R}[X] s’écit de manière unique, sous la forme : A=c d(A) \prod\limits_{k=1}^{s}\left(X-a_{k}\right)^{m_{k}} \prod\limits_{k=1}^{r}\left(X^{2}+b_{k} X+c_{k}\right)^{n_{k}} Avec a_{1}, \ldots, a_{s} sont des nombres réels deux à deux distincts. Les couples \left(b_{1}, c_{1}\right), \ldots,\left(b_{\mathrm{r}}, c_{\mathrm{r}}\right) sont deux à deux distincts dans \mathbb{R}^{2}, avec \forall k \in \llbracket 1, r \rrbracket, b_{k}^{2}-4 c_{k}<0. Et m_{1}, \ldots, m_{s} et n_{1}, \ldots, n_{r} sont des entiers naturels non nuls.
Exercice d’application 7 : Factoriser X^{4}+1 dans \mathbb{R}[X].
Proposition 18 : Soient P et Q deux polynôme non nuls de \mathbb{C}[X]. P divise Q si et seulement si (\forall a \in \mathbb{C}, \forall m \in \mathbb{N}, si a est une racine d’ordre m de P alors a est une racine d’ordre supérieur ou égal à m de Q.)
Démonstration : « \Rightarrow » On suppose que P divise Q. Soient a \in \mathbb{C} et m \in \mathbb{N]. On suppose que a est une racine d’ordre m de P. Il existe A un polynôme de \mathbb{C}[X] tel que P=(X-a)^{m} A. Comme P \mid Q, il existe B \in \mathbb{C}[X] tel que Q=P B. On a alors Q=(X-a)^{m} A B. Ainsi a est une racine d’ordre supérieur ou égal à m de Q. « \Leftarrow » On suppose que \forall a \in \mathbb{C}, \forall m \in \mathbb{N}, si a est une racine d’ordre m de P alors a est une racine d’ordre supérieur ou égal à m de Q. Si P est constant alors P \mid Q. Si P n’est pas constant alors on note a_{1}, \ldots, a_{n} les racines de P et on note m_{1}, \ldots, m_{n} leurs multiplicités respectives. D’après notre hypothèse, il existe \mathrm{A} un polynôme de \mathbb{C}[X] et il existe des entiers naturels \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} tels que Q=\prod\limits_{i=1}^{n}\left(X-a_{i}\right)^{m_{i}+\alpha_{i}}(c d(P) A). Ainsi Q=P A \prod\limits_{i=1}^{n}\left(x-a_{i}\right)^{\alpha_{i}}. On en déduit alors que P \mid Q.
Remarque 17 : Cette proposition n’est pas valable dans \mathbb{R}[X]. Voici un contre-exemple : On pose P=X^{2}+1 et \mathrm{Q}=X^{4}+1. On a tout nombre réel est racine d’ordre 0 de P et de Q, mais P \nmid Q.
Proposition 18 : Deux polynômes de \mathbb{C}[X] sont premiers entre eux si et seulement si ils n’ont pas de racines communes.
Soient P et Q deux polynôme de \mathbb{C}[X]. " \Rightarrow " On suppose que P \wedge Q=1. On suppose par l’absurde que P et Q ont une racine communes a \in \mathbb{C. Par le théorème de Bézout, il existe U, V \in \mathbb{K}[X] tels que U P+V Q=1. Donc (U P+V Q)(a)=1. Autrement dit U(a) P(a)+V(a) Q(a)=1. Ceci nous conduit à 0=1 ce qui est absurde. " \Leftarrow " On suppose que P et Q n’ont pas de racines communes. Ainsi, les cas : (P, Q)=(0,0) ;(P=0 et \operatorname{deg}(Q) \geqslant 1) ;(Q=0 et \operatorname{deg}(P) \geqslant 1) ne sont pas envisageable. Si P \in \mathbb{K}^{*} ou Q \in \mathbb{K}^{*} alors P \wedge Q=1. Si \mathrm{P} et Q sont de degré supérieur ou égal à 1 , il existe a_{1}, \ldots, a_{n}, b_{1}, \ldots, b_{m} \in \mathbb{C] tels que
Soient P et Q deux polynôme de \mathbb{C}[X]. " \Rightarrow " On suppose que P \wedge Q=1. On suppose par l’absurde que P et Q ont une racine communes a \in \mathbb{C. Par le théorème de Bézout, il existe U, V \in \mathbb{K}[X] tels que U P+V Q=1. Donc (U P+V Q)(a)=1. Autrement dit U(a) P(a)+V(a) Q(a)=1. Ceci nous conduit à 0=1 ce qui est absurde. " \Leftarrow " On suppose que P et Q n’ont pas de racines communes. Ainsi, les cas : (P, Q)=(0,0) ;(P=0 et \operatorname{deg}(Q) \geqslant 1) ;(Q=0 et \operatorname{deg}(P) \geqslant 1) ne sont pas envisageable. Si P \in \mathbb{K}^{*} ou Q \in \mathbb{K}^{*} alors P \wedge Q=1. Si \mathrm{P} et Q sont de degré supérieur ou égal à 1 , il existe a_{1}, \ldots, a_{n}, b_{1}, \ldots, b_{m} \in \mathbb{C] tels que
P=\operatorname{cd}(P) \prod\limits_{i=1}^{n}\left(X-a_{i}\right) \text { et } Q=\operatorname{cd}(Q) \prod\limits_{i=1}^{m}\left(X-b_{i}\right) [latex].
D'après notre hypothèse [latex]\forall i \in \llbracket 1, n \rrbracket, \forall \mathrm{j} \in \llbracket 1, m \rrbracket, a_{i} \neq b_{j}. Donc \forall i \in \llbracket 1, n \rrbracket, \forall \mathrm{j} \in \llbracket 1, m \rrbracket,\left(X-a_{i}\right) \wedge\left(X-b_{j}\right)=1. Par produit P \wedge Q=1.
Remarque 18 : Cette proposition n'est pas valable dans \mathbb{R}[X]. En effet, on pose P=Q=X^{2}+1. P et Q n'ont pas de racines communes mais P \wedge Q \neq 1.
Proposition 19 : Deux racines complexes conjuguées d'un polynôme de \mathbb{R}[X] ont même multiplicité.
Démonstration : Soient P un polynôme non constant de \mathbb{R}[X] et a une racine complexe de P de multiplicité m \in \mathbb{N}. 1^{e r} cas : Si a \in \mathbb{R} alors \bar{a}=a, donc a et \bar{a} ont même multiplicié. 2^{\text {ème }} cas : Si a \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R}. On a \forall k \in \llbracket 0, m-1 \rrbracket, \quad P^{(k)}(a)=0 et P^{(m)}(a) \neq 0. En passant an Conjugué : \forall k \in \llbracket 0, m-1 \rrbracket, \quad \overline{p^{(k)}(a)}=0 et \overline{p^{(n)}(a)} \neq 0. \forall k \in \llbracket 0, m-1 \rrbracket, \quad p^{(k)}(\bar{a})=0 et p^{(m)}(\bar{a}) \neq 0. Ce qui signifie que \bar{a} est une racine de P de multiplicité m.
Corrigé : Pour tout k \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket, on pose \omega_{k}=e^{\frac{2 i k \pi}{n}}. On a X^{n}-1=\prod\limits_{k=0}^{n-1}\left(X-\omega_{k}\right). Pour tout k \in \llbracket 1, n-1 \rrbracket, on a \omega_{k} \cdot \omega_{n-k}=1. Donc pour tout k \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket, \overline{\omega_{n-k}}=\omega_{k]. 1^{\text {er }} cas : Si n est impair : Il existe un entier naturel p tel que n=2 p+1. X^{n}-1=X^{2 p+1}-1=(X-1) \prod\limits_{k=1}^{p}\left(X-\omega_{k}\right)\left(X-\overline{\omega_{k}}\right). X^{n}-1=(X-1) \prod\limits_{k=1}^{p}\left(X^{2}-2 \cos \left(\frac{2 k \pi}{2 p+1}\right) X+1\right). 2^{\text {ème }} cas : Si n est pair : Il existe un entier naturel p tel que n=2 p. X^{n}-1=X^{2 p}-1=(X-1)(X+1) \prod\limits_{k=1}^{p-1}\left(X-\omega_{k}\right)\left(X-\overline{\omega_{k}}\right) X^{n}-1=(X-1)(X+1) \prod\limits_{k=1}^{p-1}\left(X^{2}-2 \cos \left(\frac{k \pi}{\mathrm{p}}\right) X+1\right)
Proposition 19 : Soient x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}, n+1 éléments, deux à deux distincts, de \mathrm{K}. Pour tout i \in \llbracket 0, n \rrbracket, on pose L_{i}=\prod\limits_{\substack{k=0 \\ k \neq i}}^{n} \frac{X-x_{k}}{x_{i}-x_{k}} (Les L_{i} sont appelés les polynômes de Lagrange associés à la famille \left(x_{0}, \ldots, x_{n}\right) ) ). i) Les polynômes L_{i} sont tous de degré n. ii) \forall i, j \in \llbracket 0, n \rrbracket, L_{i}\left(x_{j}\right)=\delta_{i, j} iii) \forall\left(y_{0}, \cdots, y_{n}\right) \in \mathbb{K}^{n+1}, \exists ! P \in \mathbb{K}_{n}[X], \forall j \in \llbracket 0, n \rrbracket, P\left(x_{j}\right)=y_{j}.
Démonstration : Existence : Soit \left(y_{0}, \ldots, y_{n}\right) \in \mathbb{K}^{n}. On pose P=\sum\limits_{i=0}^{n} y_{i} L_{i}. On a \operatorname{deg}(P) \leqslant n et \forall j \in \llbracket 0, n \rrbracket, P\left(x_{j}\right)=\sum\limits_{i=0}^{n} y_{i} L_{i}\left(x_{j}\right)=\sum\limits_{i=0}^{n} y_{i} \delta_{i, j}=y_{j}. Unicité : On suppose qu'il existe P, Q \in \mathbb{K}_{n}[X] tels que \forall j \in \llbracket 0, n \rrbracket, P\left(x_{j}\right)=y_{j}=Q\left(x_{j}\right). \operatorname{deg}(P-Q) \leqslant n et P-Q admet au moins n+1 racines \left(x_{0}, \ldots, x_{n}\right) deux à deux distinctes. Donc P-Q=0 ou encore P=Q
