Voir la série d’exercices corrigés sur les nombres complexes

I) Généralités sur les nombres complexes

  • On admet l’existence d’un élément noté i vérifiant i^{2}=-1.
  • On appelle ensemble des nombres complexes et on note \mathbb{C}, l’ensemble défini par : \mathbb{C}=\{a+i b / a, b \in \mathbb{R}\}.
  • On admet que l’addition et la multiplication dans \mathbb{R} prolongent ceux de \mathbb{C}. Les règles de calculs sont les mêmes.

Partie réelle, partie imaginaire d’un nombre complexe :
On admet que tout nombre complexe \mathrm{z} s’écrit de manière unique z=a+i b avec (a, b) \in \mathbb{R}^{2}.
Dans ce cas :

  • L’écriture z=a+i b est appelée forme algébrique du nombre complexe z.
  • Le réel a est appelé partie réelle de \mathrm{z}, on le note \operatorname{Re}(\mathrm{z}).
  • Le réel b est appelé partie imaginaire de z, on le note Im(z).
  • Lorsque a=0, \mathrm{z} est dit imaginaire pur. On note i \mathbb{R} l’ensemble des nombres imaginaires purs.

Exemple 1 :
On pose \mathrm{z}=(2+i)(1-i). Ce qui fait z=2-2 i+i+1=3-i.
Par conséquent on a :

  • \operatorname{Re}(z)=3.
  • \operatorname{Im}(z)=-1.
  • L’écriture algébrique de z est 3-i

Remarque 1 :
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie imaginaire et la même partie réelle. Autrement dit :
\forall z, z^{\prime} \in \mathbb{C},\quad z=z^{\prime} \Leftrightarrow \begin{cases} Re(z)=Re(z^{\prime}) \\ Im(z)=Im(z^{\prime}) \end{cases} .

Conjugué d’un nombre complexe :
Soit z \in \mathbb{C}. On appelle conjugué de z et on note \bar{z} le nombre complexe défini par : \bar{z}=\operatorname{Re}(z)-i \operatorname{Im}(z).

Exemple 2 :
\overline{3-i}=3+i

Propriétés de la conjugaison :
Soit z, z_{1}, z_{2} trois nombres complexes, on a :
i) \overline{z_{1}+z_{2}}=\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}}
ii) \bar{{\bar{z}}}=\mathrm{z}
iii) \overline{z_{1} z_{2}}=\overline{z_{1}} \overline{z_{2}}
iv) \forall n \in \mathbb{N}, \quad \overline{z^{n}}=\bar{z}^{n}
v) \operatorname{Si} z_{2} \neq 0 alors \overline{\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)}=\frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_{2}}}
vi) \operatorname{Re}(\mathrm{z})=\frac{\mathrm{z}+\overline{\mathrm{z}}}{2} et \operatorname{Im}(z)=\frac{z-\bar{z}}{2 i}
vii) z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z=\bar{z}
viii) z \in i\mathbb{R} \Leftrightarrow z=-\bar{z}

Exercice d’application 1 :
Pour tout z \in \mathbb{C} \backslash\{-1\}, on pose f(z)=\frac{\mathrm{z}-1}{z+1}.
Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur z pour que f(z) soit réel.

Corrigé :
Soit z \in \mathbb{C} \backslash\{-1\}.
f(z) \in \mathbb{R} \Leftrightarrow f(z)=\overline{f(z)} \\ f(z) \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \frac{z-1}{z+1}=\frac{\bar{z}-1}{\bar{z}+1} \\ f(z) \in \mathbb{R} \Leftrightarrow(z-1)(\bar{z}+1)=(z+1)(\bar{z}-1) \\ f(z) \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z \bar{z}+z-\bar{z}-1=z \bar{z}-z+\bar{z}-1 \\ f(z) \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z=\bar{z} \\ f(z) \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z \in \mathbb{R}

Le plan complexe

L’application \rho: \underset{(a, b) \rightarrow a+i b}{\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{C}} est bijective.

  • Grâce à la bijection \rho: \underset{(a, b) \rightarrow a+i b}{\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{C}}, on peut identifier \mathbb{C} avec \mathbb{R}^{2}. Autrement dit, on peut voir l’ensemble des nombres complexes comme un plan.
  • On appelle plan complexe le plan \mathcal{P} muni d’un repère orthonormé directe R=(O, \vec{u}, \vec{v}).
  • À tout nombre complexe z qui s’écrit sous la forme algébrique z=a+i b, on associe un unique point \mathrm{M} du plan de coordonnées (a, b) dans le repère R et un unique vecteur \vec{w} de coordonnées (a, b) dans la base (\vec{u}, \vec{v}).
    On dit que z est l’affixe du point M et du vecteur \vec{w}, et on écrit Aff(M)=z et Aff(\vec{w})=z.

II) Module d’un nombre complexe

Définition 1 :
Soient z \in \mathbb{C}. On appelle module de z et on note |z|, le nombre réel positif |z|=\sqrt{\operatorname{Re}(z)^{2}+\operatorname{Im}(z)^{2}}.

Interprétation géométrique du module d’un nombre complexe :
Soient z, z_{A}, z_{B} trois nombres complexes et \left.r \in\right] 0,+\infty[.
On écrit z, z_{A}, z_{B} sous leurs formes algébriques z=a+i b, z_{A}=x_{A}+i y_{A} et z_{B}=x_{B}+i y_{B} et on considère dans le plan complexe les points M(z), A\left(z_{A}\right) et B\left(z_{B}\right).
Dans le plan \mathcal{P} muni d’un repère orthonormé direct R=(O, \vec{u}, \vec{v}) les coordonnées des points M, A et B sont respectivement (a, b),\left(x_{A}, y_{A}\right) et \left(x_{B}, y_{B}\right).
Donc \overrightarrow{O M}(a, b), O M=\|\overrightarrow{O M}\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=|z|
\operatorname{Et} \overrightarrow{A B}\left(x_{B}-x_{A}, y_{B}-y_{A}\right) donc A B=\|\overrightarrow{A B}\|=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}}=\left|z_{B}-z_{A}\right|
De plus Aff(\overrightarrow{AB}) =z_{B}-z_{A} .

L’ensemble des points M d’affixe z tels que :

  • \left|z-z_{A}\right|=r est le cercle de centre A et de rayon r.
  • \left|z-z_{A}\right| \leqslant \mathrm{r} est le disque fermé de centre A et de rayon \mathrm{r}.
  • \left|z-z_{A}\right|<r est le disque ouvert de centre \mathrm{A} et de rayon \mathrm{r}.

Propriétés du module d’un nombre complexe
Soient z, z’ \in \mathbb{C}, On a :
i) |z|^{2}=z \bar{z}
ii) |z|=0 \Leftrightarrow z=0
iii) |\bar{z}|=|z|
iv) |\operatorname{Re}(z)| \leqslant|z| et |\operatorname{Im}(z)| \leqslant|z|
v) \left|z z^{\prime}\right|=|z| \cdot\left|z^{\prime}\right|
vi) \forall n \in \mathbb{N},\left|z^{n}\right|=|z|^{n}
vii) Si z^{\prime} \neq 0 alors \begin{cases}\left|\frac{1}{z^{\prime}}\right|=\frac{1}{\left|z^{\prime}\right|}\\ |\frac{z}{z^{\prime}}|=\frac{|z|}{|z^{\prime}|}\end{cases}.

Démonstration :
i) On a z \bar{z}=(\operatorname{Re}(z)+i \operatorname{Im}(z))(\operatorname{Re}(z)-i \operatorname{Im}(z)).
Donc z \bar{z}=\operatorname{Re}(z)^{2}+\operatorname{Im}(z)^{2}.
Ainsi z \bar{z}=|z|^{2}

ii) |z|=0 \Leftrightarrow|z|^{2}=0 \\ |z|=0 \Leftrightarrow \operatorname{Re}(z)^{2}+\operatorname{Im}(z)^{2}=0 \\ |z|=0 \Leftrightarrow \operatorname{Re}(z)=0=\operatorname{Im}(z) \\ |z|=0 \Leftrightarrow z=0

iii) D’après i) on a |\bar{z}|^{2}=\bar{z} \overline{\bar{Z}}
Donc |\bar{z}|^{2}=\bar{z} z=|z|

iv) On a |z|^{2}=\operatorname{Re}(z)^{2}+\operatorname{Im}(z)^{2}
Donc \operatorname{Re}(z)^{2} \leqslant|z|^{2}[latex] et [latex]\operatorname{Im}(z)^{2} \leqslant|z|^{2}
Ainsi |\operatorname{Re}(z)| \leqslant|z| et |\operatorname{Im}(z)| \leqslant|z|

v) par ii) On a \left.\left|z z^{\prime}\right|^{2}=\left(z z^{\prime}\right) \overline{(\mathrm{zz}}{ }^{\prime}\right)
Donc \left|z z^{\prime}\right|^{2}=(z \bar{z})\left(z^{\prime} \overline{z^{\prime}}\right)=|z|^{2}\left|z^{\prime}\right|^{2}
Ainsi \left|z z^{\prime}\right|=|z|\left|z^{\prime}\right|

vi) Par récurrence

vii) On suppose que z^{\prime} \neq 0
On a |z|=\left|z^{\prime} \cdot \frac{z}{z^{\prime}}\right|=\left|z^{\prime}\right|\left|\frac{z}{z^{\prime}}\right|
Donc \frac{|z|}{\left|z^{\prime}\right|}=\left|\frac{Z}{Z^{\prime}}\right|

Inégalité triangulaire :
Soient z, z^{\prime} \in \mathbb{C}. On a :
i) \left|z+z^{\prime}\right| \leq|z|+\left|z^{\prime}\right|
ii) Cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire :
\left|z+z^{\prime}\right|=|z|+\left|z^{\prime}\right| \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{R}^{+}, z=k z^{\prime} ou z^{\prime}=k z.
On dit que z et z^{\prime} sont positivement liés.

Démonstration :
1^{\text {er }} cas : Si z^{\prime}=0 alors i) et ii) Sont vérifiées
2^{\text {ème }} cas : Si z^{\prime} \neq 0
On pose k=\frac{z}{z^{\prime}}.
\begin{aligned}\left|z+z^{\prime}\right| \leqslant|z|+\left|z^{\prime}\right| & \Leftrightarrow\left|k z^{\prime}+z^{\prime}\right| \leqslant\left|k z^{\prime}\right|+\left|z^{\prime}\right| \\& \Leftrightarrow|k+1|\left|z^{\prime}\right| \leqslant(1+|k|)\left|z^{\prime}\right| \\& \Leftrightarrow|k+1| \leqslant(1+|k|)\end{aligned}
On a :
\begin{aligned} (1+|k|)^{2}-|1+k|^{2} & =1+2|k|+|k|^{2}-(1+k)(1+\bar{k}) \\& =1+2|k|+|k|^{2}-\left(1+k+\bar{k}+|k|^{2}\right) \\& =2(|k|-\operatorname{Re}(k)) \geqslant 0 \quad (\ast) \end{aligned}
Ainsi 1+|k| \geqslant|1+k|
Et par la suite \left|z+z^{\prime}\right| \leqslant|z|+\left|z^{\prime}\right|
Étudions maintenant le cas d'égalité :
\begin{aligned}\left|z+z^{\prime}\right|=|z|+\left|z^{\prime}\right| & \Leftrightarrow|k+1|=|k|+1 \\& \Leftrightarrow|k|=\operatorname{Re}(k)(\operatorname{par}(*)) \\& \Leftrightarrow k \in \mathbb{R}^{+}\end{aligned}


Généralisation de l'inégalité triangulaire :
\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \forall\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right) \in \mathbb{C}^{n},\left|\sum\limits_{k=1}^{n} z_{k}\right| \leqslant \sum\limits_{k=1}^{n}\left|z_{k}\right|

Démonstration :
Par récurrence

Seconde inégalité triangulaire :
Soient z, z^{\prime} \in \mathbb{C}. On a : ||z|-| z^{\prime}|| \leq\left|z-z^{\prime}\right|

Démonstration :
On a |z|=\left|\left(z-z^{\prime}\right)+z^{\prime}\right|
Donc par l'inégalité triangulaire |z| \leqslant\left|z-z^{\prime}\right|+\left|z^{\prime}\right|
Ainsi |z|-\left|z^{\prime}\right| \leqslant\left|z-z^{\prime}\right| (1)
De même on montre que \left|z^{\prime}\right|-|z| \leqslant\left|z^{\prime}-z\right|=\left|z-z^{\prime}\right|
C'est-à-dire -\left|z-z^{\prime}\right| \leqslant|z|-\left|z^{\prime}\right| (2)
Par (1) et (2) on conclut finalement que ||z|-| z^{\prime}|| \leqslant\left|z-z^{\prime}\right|

Interprétation géométrique de l'inégalité triangulaire :
Soient z, z' deux nombres complexes.
Dans le plan complexe on considère les points M, M^{\prime} d'affixes respectifs \mathrm{z},-z^{\prime}.
On a alors : \overrightarrow{O M}(z), \overrightarrow{O M^{\prime}}\left(-z^{\prime}\right), \overrightarrow{M^{\prime} M}\left(z+z^{\prime}\right).
Ainsi \left|z+z^{\prime}\right| \leq|z|+\left|z^{\prime}\right| signifie que MM' \leqslant O M+O M^{\prime}.
Donc l'inégalité triangulaire traduit le fait que dans un triangle, la longueur d'un côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

III) Nombres complexes de module 1 et trigonométrie

Notation :
\bullet L'ensemble des nombres complexes de module 1 est noté \mathbb{U} .
\bullet \ \mathbb{U} est l'ensemble des affixes des points du cercle trigonométrique.
Autrement dit \mathbb{U} = \{ e^{i \theta } / \theta \in \mathbb{R} \} avec \forall \theta \in \mathbb{R}, \ e^{i \theta}=\cos (\theta)+i \sin (\theta).

Propriétés des nombres complexes de module 1 :
i) \forall z \in \mathbb{C}, \quad z \in \mathbb{U} \Leftrightarrow \frac{1}{z}=\bar{z}
ii) \mathbb{U} est stable par produit et par passage à l'inverse.

Démonstration :
i) Soit z \in \mathbb{C}
\begin{aligned}z \in \mathbb{U} &\Leftrightarrow|z|=1 \\ & \Leftrightarrow|z|^{2}=1 \\& \Leftrightarrow z \bar{z}=1 \\& \Leftrightarrow \frac{1}{z}=\bar{z}\end{aligned}

ii) Soient z, z^{\prime} \in \mathbb{U}
\left|z z^{\prime}\right|=|z|\left|z^{\prime}\right|=1 \times 1=1
Donc z z^{\prime} \in \mathbb{U}
Ce qui signifie que \mathbb{U} est stable par produit
Par i) \left|\frac{1}{z}\right|=|\bar{z}|=|z|=1
Donc \frac{1}{\mathrm{z}} \in \mathbb{C}
Ce qui signifie que \mathbb{U} est stable par passage à l'inverse.

Proposition :
i) \forall \theta, \theta^{\prime} \in \mathbb{R}, e^{i \theta}=e^{i \theta^{\prime}} \Leftrightarrow \theta \equiv \theta^{\prime}[2 \pi].
ii) \forall \theta, \theta^{\prime} \in \mathbb{R}, e^{i\left(\theta+\theta^{\prime}\right)}=e^{i \theta} e^{i \theta^{\prime}}.
iii) \forall \theta, \theta^{\prime} \in \mathbb{R}, e^{-i \theta}=\frac{1}{e^{i \theta}}=\overline{e^{i \theta}}.

Démonstration :
i) Soient \theta, \theta^{\prime} \in \mathbb{R}.
\begin{aligned} e^{i \theta} =e^{i \theta^{\prime}} &\Leftrightarrow \cos \theta+i \sin \theta=\cos \theta^{\prime}+i \sin \theta^{\prime} \\& \Leftrightarrow \begin{cases} \cos \theta=\cos \theta^{\prime} \\\sin \theta=\sin \theta^{\prime}\end{cases} \\& \Leftrightarrow \theta \equiv \theta^{\prime}[2 \pi] \end{aligned}

ii) Soient \theta, \theta^{\prime} \in \mathbb{R}.
\begin{aligned} e^{i \theta} e^{i \theta^{\prime}} & =(\cos \theta+i \sin \theta)\left(\cos \theta^{\prime}+i \sin \theta^{\prime}\right) \\ & =\left(\cos \theta \cos \theta^{\prime}-\sin \theta \sin \theta^{\prime}\right)+i\left(\sin \theta \cos \theta^{\prime}+\cos \theta \sin \theta^{\prime}\right) \\ & =\cos \left(\theta+\theta^{\prime}\right)+i \sin \left(\theta+\theta^{\prime}\right) \\ & =e^{i\left(\theta+\theta^{\prime}\right)} \end{aligned}

iii) Soient \theta, \theta^{\prime} \in \mathbb{R}.
Par ii) e^{i \theta} e^{-i \theta}=e^{0}=1.
Donc e^{-i \theta}=\frac{1}{e^{i \theta}}=\overline{e^{i \theta}}.

Exercice d'application 2 :
Déterminer la valeur de \cos \left(\frac{7 \pi}{12}\right) et de \sin \left(\frac{7 \pi}{12}\right).

Corrigé :
On a e^{i \frac{7 \pi}{12}}=e^{i\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}\right)}=e^{i \frac{\pi}{4}} e^{i \frac{\pi}{3}}.
Donc :
\begin{aligned}e^{i \frac{7 \pi}{12}}&=\left(\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)\right)\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right) \\ & =\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ & =\frac{\sqrt{2}}{4}+i \frac{\sqrt{2}}{4}+i \frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{6}}{4} \end{aligned}
Ainsi \cos \left(\frac{7 \pi}{12}\right)+i \sin \left(\frac{7 \pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}+i \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}.
En identifiant les parties réelles et imaginaires on trouve :
\cos \left(\frac{7 \pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} et \sin \left(\frac{7 \pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}.

Formule de Moivre :
\forall \theta \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{Z}, e^{i n \theta}=\left(e^{i \theta}\right)^{n}.
Autrement dit, \forall \theta \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{Z},(\cos \theta+i \sin \theta)^{n}=\cos (n \theta)+i \sin (n \theta).

Démonstration :
Soit \theta \in \mathbb{R}.
On montre par récurrence que \forall n \in \mathbb{N}, \ e^{i n \theta}=\left(e^{i \theta}\right)^{n}.
Généralisons à \mathbb{Z} :
Soit n \in \mathbb{Z}^{-}
On a e^{i n \theta}=e^{-i(-n) \theta}=\frac{1}{e^{i(-n) \theta}}
Puisque -n \in \mathbb{N} alors e^{i(-n) \theta}=\left(e^{i \theta}\right)^{-n}=\frac{1}{\left(e^{i \theta}\right)^{n}}.
Ainsi e^{i n \theta}=\left(e^{i \theta}\right)^{n}.


Formule d'Euler :
\forall \theta \in \mathbb{R}, on a : \cos \theta=\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2} et \sin \theta=\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2 i}

Démonstration :
Soit \theta \in \mathbb{R}.
On a e^{i \theta}+e^{-i \theta}=(\cos \theta+i \sin \theta)+\cos (-\theta)+i \sin (-\theta).
Donc e^{i \theta}+e^{-i \theta}=2 \cos \theta.
D'où \cos \theta=\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}.
Et on a e^{i \theta}-e^{-i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta-(\cos (-\theta)+i \sin (-\theta)).
Donc e^{i \theta}-e^{-\mathrm{i} \theta}=2 i \sin (\theta).
D'où \sin (\theta)=\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2 \mathrm{i}}.

Exercice d'application 3 :
Pour x \in \mathbb{R}, linéariser les expressions :
i) \cos x \cdot \sin ^{2} x
ii) \sin ^{4} x

Corrigé :
i) Soit x \in \mathbb{R}.
\begin{aligned} \cos (x) \sin ^{2}(x)&=\frac{e^{i x}+e^{-i x}}{2}\left(\frac{e^{i x}-e^{-i x}}{2 \mathrm{i}}\right)^{2} \text{( par la formule d’Euler)} \\ & =\frac{\left(e^{i x}+e^{-i x}\right)\left(e^{i 2 x}-2+e^{-2 i x}\right)}{-8} \\ & =\frac{e^{3 i x}-2 e^{i x}+e^{-i x}+e^{i x}-2 e^{-i x}+e^{-3 i x}}{-8} \\ & =\frac{-1}{8}(2 \cos (3 x)-2 \cos (x)) \\& =\frac{-1}{4}(\cos (3 x)-\cos (x)) \end{aligned}

ii) Soit x \in \mathbb{R}.
\begin{aligned} \sin^{4}(x) &=\left(\frac{e^{i x}-e^{-i x}}{2 i}\right)^{4} \text{( Par la formule d’Euler)} \\  &=\frac{e^{4 i x}-4 e^{2 i x}+6-4 e^{-2 i x}+e^{-4 i x}}{16} \text{( Par la formule du binôme)} \\ &=\frac{1}{16}(2 \cos (4 x)-8 \cos (2 x)+6) \\ &=\frac{1}{8}(\cos (4 x)-4 \cos (2 x)+3) \end{aligned}

Exercice d'application 4 :
Pour tout x \in \mathbb{R}, transformer \cos (3 x) en un polynôme en \cos (x).

Corrigé :
Soit x \in \mathbb{R}.
\begin{aligned} \cos (3 x)&=\operatorname{Re}(\cos (x)+i \sin (x))^{3} \text{ (Par la formule de Moivre) } \\ &=\operatorname{Re}\left(\cos ^{3}(x)+3 i \cos ^{2}(x) \sin (x)-3 \cos (x) \sin ^{2}(x) - i \sin ^{3}(x) \right) \text{ (Par la formule du binôme)} \\ &=\cos ^{3}(x)-3 \cos (x) \sin ^{2}(x) \\ &=\cos ^{3}(x)-3 \cos (x)\left(1-\cos ^{2}(x)\right) \\ &=4 \cos ^{3}(x)-3 \cos (x) \end{aligned}

IV) Forme trigonométrique

Proposition-définition :
\forall z \in \mathbb{C}^{*}, \exists !r \in ]0,+\infty[,\exists \theta \in \mathbb{R}, z=r e^{i \theta}.
Dans ce cas on a :
\bullet \ r=|\mathrm{z}|
\bullet \ r e^{i \theta} est dite écriture exponentielle ou (trigonométrique) de z .
Un tel réel \theta est appelé un argument de z. On note \arg (z) \equiv \theta[2 \pi].

Démonstration :
Soit z \in \mathbb{C}^{*}.
Existence :
On a \left|\frac{z}{|z|}\right|=\frac{|z|}{|z|}=1.
Donc \frac{z}{|z|} \in \mathbb{U}
Par définition de \mathbb{U}, \exists \theta \in \mathbb{R}, \frac{2}{|\mathrm{z}|}=e^{i \theta}.
On pose r=|z|.
On a alors z=r e^{i \theta}.
Unicité de r :
On suppose qu’il existe r, r^{\prime} \in ] 0,+\infty [ et \theta, \theta^{\prime} \in \mathbb{R} tels que z=r e^{i \theta}=r^{\prime} e^{i \theta^{\prime}}.
Ainsi \left|r e^{i \theta}\right|=\left|r^{\prime} e^{i \theta^{\prime}}\right|.
Donc |r|=\left|r^{\prime}\right|.
D'où r=r^{\prime}.
Et par la suite e^{i \theta}=e^{i \theta^{\prime}}.
Donc \theta \equiv \theta^{\prime}[2 \pi]

Remarque :

  • Si \theta est un argument de z alors l'ensemble des arguments de z est \{\theta+2 k \pi / k \in \mathbb{Z}\}
  • Tout nombre complexe non nul z possède un argument unique dans ]-\pi, \pi]. On l'appelle argument principal de z.
  • \forall z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}^{*}, z_{1}=z_{2} \Leftrightarrow\begin{cases}|z_{1}|=|z_{2}|\\ \arg (\mathrm{z}_{1}) \equiv \arg (z_{2})[2 \pi]\end{cases}.

Propriétés de l'argument d'un nombre complexe non nul :
Soient z, z^{\prime} \in \mathbb{C}^{*}. On a :
i) \arg \left(\mathrm{zz}^{\prime}\right) \equiv \arg (z)+\arg \left(z^{\prime}\right)[2 \pi].
ii) \arg \left(\frac{z}{z^{\prime}}\right) \equiv \arg (z)-\arg \left(z^{\prime}\right)[2 \pi].
iii) \arg (\bar{z}) \equiv \arg \left(\frac{1}{\mathrm{z}}\right)[2 \pi] \equiv-\arg (\mathrm{z})[2 \pi]
iv| \forall n \in \mathbb{N}, \arg \left(z^{n}\right) \equiv n \cdot \arg (\mathrm{z})[2 \pi].

Démonstration :
i) \left.\exists r, r^{\prime} \in\right] 0,+\infty\left[, \exists \theta, \theta^{\prime} \in \mathbb{R}, z=r e^{i \theta}\right. et z^{\prime}=r^{\prime} e^{i \theta^{\prime}}
On a \arg (z) \equiv \theta[2 \pi], \arg \left(z^{\prime}\right) \equiv \theta^{\prime}[2 \pi] et z z^{\prime}=r r^{\prime} e^{i\left(\theta+\theta^{\prime}\right)}
Donc \arg \left(z z^{\prime}\right) \equiv \theta+\theta^{\prime}[2 \pi].
D'où \arg \left(\mathrm{zz} z^{\prime}\right) \equiv \arg (\theta)+\arg \left(\theta^{\prime}\right)[2 \pi]

ii) On a \frac{z}{z^{\prime}}=\frac{r}{r^{\prime}} e^{i\left(\theta-\theta^{\prime}\right)}
Donc \arg \left(\frac{z}{z^{\prime}}\right) \equiv \theta-\theta^{\prime}[2 \pi]
D'où \arg \left(\frac{\mathrm{z}}{z^{\prime}}\right) \equiv \arg (z)-\arg \left(z^{\prime}\right)[2 \pi]

iii) On a \bar{z}=r e^{-i \theta}
Donc \arg (\bar{z}) \equiv-\theta[2 \pi]
Ainsi \arg (\bar{z}) \equiv-\arg (z)[2 \pi]
Et on \arg \left(\frac{1}{\mathrm{z}}\right) \equiv \arg (1)-\arg (\mathrm{z})[2 \pi]
Puisque \arg (1) \equiv 0[2 \pi] alors \arg \left(\frac{1}{\mathrm{z}}\right) \equiv-\arg (\mathrm{z})[2 \pi]

iv) Par Récurrence

Transformation de a \cos t +b \sin t en A \cos (t-\varphi) :
Soit (a, b) \in \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\}.
\exists(A, \varphi) \in] 0,+\infty[\times \mathbb{R}, \forall t \in \mathbb{R}, a \cos (t)+b \sin (t)=A \cos (t-\varphi), avec A=|a+i b| et \varphi=\arg (a+i b)[2 \pi].

Démonstration :
Soit t \in \mathbb{R}
\begin{aligned} a \cos (t)+b \sin (t) & =a \frac{e^{i t}+e^{-i t}}{2}+b \frac{e^{i t}-e^{-i t}}{2 i} \\& =\frac{a-i b}{2} e^{i t}+\frac{a+i b}{2} e^{-i t} \end{aligned}.
\exists r \in] 0,+\infty [,\exists \varphi \in \mathbb{R}, \quad \frac{a+i b}{2}=r e^{i \varphi}.
Puisque \frac{a-i b}{2}=\overline{\left(\frac{a+i b}{2}\right)}=\overline{r e^{i \varphi}}=r e^{-i \varphi}.
Alors :
\begin{aligned} a \cos (t)+b \sin (t)&=r e^{-i \varphi} e^{i t}+r e^{i \varphi} e^{-i t} \\ &= r e^{i(t-\varphi)}+r e^{-i(t-\varphi)} \\ &=2 r \cos (t-\varphi) \end{aligned}
On pose A=2 r
On a alors a \cos (t)+b \sin (t)=A \cos (t-\varphi).
On constate que A et \varphi ne dépendent pas du réel t choisi
Ainsi \forall t \in \mathbb{R}, a \cos (t)+b \sin (t)=A \cos (t-\varphi)

Remarque :
En physique et en sciences d'ingénieur, une fonction du type t \mapsto a \cos (t)+b \sin (t) est appelée signal sinusoïdal, A est appelée amplitude du signal et \varphi sa phase.

Exemple d'une transformation :
\forall t \in \mathbb{R}, \cos t+\sin t=\sqrt{2} \cos \left(t-\frac{\pi}{4}\right) car |1+i|=\sqrt{2} et \arg (1+i) \equiv \frac{\pi}{4}[2 \pi]

Définition :
On appelle racine carrée d'un nombre complexe z_{0}, tout complexe z tel que z^{2}=z_{0}.

Exemple de racines carrées de nombres complexes :

  • i^{2}=-1 donc i est une racine carrée de -1.
  • (-i)^{2}=-1 dons -i et ure racine canée de -1.
  • 0 ne possède qu'une seule racine carrée qui est 0 .
  • \operatorname{Si} a \in] 0,+\infty[, alors a possède deux racine carrée : \sqrt{a} et -\sqrt{a}.

Proposition :
Tout complexe nom nul admet exactement deux racines carrées opposées.
Plus exactement, si z_{0} est un nombre complexe non nul de forme trigonométrique z_{0}=r_{0} e^{i \theta_{0}} alors z_{0} admet les deux racines carrées : -\sqrt{r_{0}} e^{i \frac{\theta_{0}}{2}} et +\sqrt{r_{0}} e^{i \frac{\theta_{0}}{2}}.

Démonstration :
Soient z, z_{0} \in \mathbb{C}^{*}, On écrit z et z_{0} sous leurs forme trigonométrique : z=r e^{i \theta} et z_{0}=r_{0} e^{i \theta_{0}} avec \left.r, r_{0} \in\right] 0,+\infty\left[\right. et \theta, \theta_{0} \in \mathbb{R}.
\begin{aligned} z^{2}=z_{0} & \Leftrightarrow r^{2} e^{i 2 \theta}=r_{0} e^{i \theta_{0}} \\& \Leftrightarrow r^{2}=r_{0} \text { et } 2 \theta \equiv \theta_{0}[2 \pi] \\& \Leftrightarrow r=\sqrt{r_{0}} \text { et } \theta \equiv \frac{\theta_{0}}{2}[\pi] \\ &\Leftrightarrow z=\sqrt{r_{0}} e^{i \frac{\theta_{0}}{2}} \text { ou } z=\sqrt{r_{0}} e^{i\left(\frac{\theta_{0}}{2}+\pi\right)}=-\sqrt{r_{0}} e^{i \frac{\theta_{0}}{2}}\end{aligned}

Méthode pour trouver les racines carrées d'un nombre complexe sous-forme algébrique :
Soit z_{0} un nombre complexe non nul de forme algébrique z_{0}=x_{0}+i y_{0} et soit z une des deux racines carrées de z_{0}.
On écrit z sous sa forme algébrique z=x+i y.
z^{2}=z_{0} \Leftrightarrow \begin{cases}|z|^{2}=z_{0}\\ Re (z^{2})=Re (z_{0}) \\ Im (z^{2})=Im (z_{0})\end{cases}.
\quad \quad \quad \Leftrightarrow \begin{cases}x^{2}+y^{2}=\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}\\ x^{2}-y^{2}=x_{0} \\ 2xy=y_{0}\end{cases}.
\quad \quad \quad \Leftrightarrow \begin{cases}x^{2}=\frac {1}{2} (\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}+x_{0})\\ y^{2}=\frac {1}{2} (\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}-x_{0}) \\ xy \text{ est de même signe que } y_{0}\end{cases}.

Exercice d'application :
On pose z_{0}=1+i.
1) Déterminer sous la forme trigonométrique les racines carrées de z_{0}.
2) Déterminer sous la forme algébrique les racines carrées de z_{0}.
3) En déduire la valeur de \cos \left(\frac{\pi}{8}\right) et de \sin \left(\frac{\pi}{8}\right).

Corrigé :
1) z_{0}=1+i=\sqrt{2} e^{i \frac{\pi}{4}}.
Donc les racines carrées de z_{0} sont \sqrt[4]{2} e^{i \frac{\pi}{8}} et -\sqrt[4]{2} e^{i \frac{\pi}{8}}.

2) Soit z une racine carrée de z_{0}.
On écrit z sous sa forme algébrique z=x+i y.
\begin{aligned} z^{2}=z_{0} & \Leftrightarrow \begin{cases} |z|^{2}=\left|z_{0}\right| \\ \operatorname{Re}\left(z^{2}\right)=\operatorname{Re}\left(z_{0}\right) \\ \operatorname{Im}\left(z^{2}\right)=\operatorname{Im}\left(z_{0}\right) \end{cases} \\ & \Leftrightarrow \begin{cases} x^{2}+y^{2}=\sqrt{2} \\ x^{2}-y^{2}=1 \\ 2 x y=1 \end{cases} \\ & \Leftrightarrow \begin{cases} x^{2}=\frac{\sqrt{2}+1}{2} \\ y^{2}=\frac{\sqrt{2}-1}{2} \\ x y>0 \end{cases} \\ & \Leftrightarrow \begin{cases} x= \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} \\ y=\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \end{cases} \text{ ou } \begin{cases} x= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} \\ y=-\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \end{cases} \\ &\Leftrightarrow z=\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}+i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \text{ ou } z=-\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}-i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \end{aligned}

3) Par les questions 1) et 2) on a :
\sqrt[4]{2} e^{i \frac{\pi}{8}}=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{\sqrt{2}}+i \frac{\sqrt{\sqrt{2}-1}}{\sqrt{2}}[latex]. En identifiant les parties réelles et les parties imaginaires on a : [latex] \cos \left(\frac{\pi}{8}\right)=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{\sqrt{2 \sqrt{2}}} \text { et } \sin \left(\frac{\pi}{8}\right)=\frac{\sqrt{\sqrt{2}-2}}{\sqrt{2 \sqrt{2}}} [latex]</p> <a class="ub-expand-toggle-button" role="button" aria-expanded="false" aria-controls="ub-expand-full-345600e6-16bb-462d-998a-27f33b0a3821" tabindex="0"><strong><mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-theme-palette-1-color">Cacher la correction</mark></strong></a></div> </div> <div class="ub-expand " id="ub-expand-f365f97c-9ade-4408-89e7-87b77db692f9"> <div class="ub-expand-portion ub-expand-partial"> <p class="has-pale-ocean-gradient-background has-background"><strong>Résolution d'une équation de deuxième degré dans l'ensemble des nombres complexes :</strong> On considère l'équation [latex](E) d'inconnu z \in \mathbb{C},(\mathrm{E}): a z^{2}+b z+c=0 où (a, b, c) \in \mathbb{C}^{*} \times \mathbb{C}^{2}.
On pose \Delta=b^{2}-4 a c . \ \Delta est appelé discriminant de l'équation (E).
Alors :
\bullet Si \Delta=0 , alors l'équation (E) admet une racine double qui est z_{0}=\frac{-b}{2 a}.
\bullet Si \Delta \neq 0. Soit \delta une racine carrée de \Delta. L'équation (E) admet deux racines distinctes qui sont z_{1}=\frac{-b-\delta}{2 a} et z_{2}=\frac{-b+\delta}{2 a}.

Démonstration :
Soit z \in \mathbb{C}.
\begin{aligned} a z^{2}+b z+c & =a\left(z^{2}+\frac{b}{a} z+\frac{c}{a}\right) \\ & =a\left(z^{2}+2 \frac{b}{2 a} z+\left(\frac{b}{2 a}\right)^{2}-\left(\frac{b}{2 a}\right)^{2}+\frac{c}{a}\right) \\ & =a\left(\left(\mathrm{z}+\frac{b}{2 a}\right)^{2}-\frac{b^{2}-4 a c}{4 a^{2}}\right) \\ & =a\left(\left(\mathrm{z}+\frac{b}{2 a}\right)^{2}-\left(\frac{\delta}{2 a}\right)^{2}\right) \\ & =a\left(\mathrm{z}+\frac{b-\delta}{2 a}\right)\left(\mathrm{z}+\frac{b+\delta}{2 a}\right) \end{aligned}
Ainsi a z^{2}+b z+c=0 \Leftrightarrow z=\frac{-b+\delta}{2 a}[latex] ou [latex]z=\frac{-b-\delta}{2 a}

Exercice d'application :
1) Calculer (2+i)^{2}.
2) Résoudre dans \mathbb{C} l'équation : \mathrm{z}^{2}-3 i \mathrm{z}-3-i=0.

Corrigé :
1) (2+i)^{2}=4+4 i-1=3+4 i.
2)
\begin{aligned}  \Delta &=(-3 i)^{2}-4(-3-i) \\ &=-9+12+4 i=3+4 i \\ &=(2+i)^{2} \end{aligned}
Ainsi \Delta \neq 0 et \delta=2+i est une racine carrée de \Delta.
L'équation z^{2}-3 i z-3-i=0 admet alors deux racines distinctes qui sont :
\begin{aligned} z_{1}&=\frac{-b-\delta}{2 a} \\ &=\frac{3 i-(2+i)}{2} \\ &=\frac{-2+2 i}{2} \\ & =-1+i \\  z_{2}&=\frac{-b+\delta}{2 a} \\ &=\frac{3 i+(2+i)}{2} \\&=\frac{2+4 i}{2} \\ &=1+2 i \end{aligned}
L'ensemble des solutions de cette équation est S=\{-1+i ; 1+2 i\}

Somme et produit des racines d'une équation du second degré dans l'ensemble des nombres complexes :
On considère l'équation (E) d'inconnu z \in \mathbb{C},(E): a z^{2}+b z+c=0 où (a, b, c) \in \mathbb{C} \times \mathbb{C}^{2}.
On note S l'ensemble des solutions de (E).
\forall z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}, \quad S=\left\{z_{1} ; z_{2}\right\} \Leftrightarrow \begin{cases}z_{1}+z_{2}=-\frac{b}{a} \\ z_{1} z_{2}=\frac{c}{a}\end{cases}.

Démonstration :
Soient z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}.
" \Rightarrow " On suppose que S=\left\{z_{1} ; z_{2}\right\}.
z_{1}+z_{2}=\frac{-b+\delta}{2 a}+\frac{-b-\delta}{2 a}=-\frac{b}{a}
\begin{aligned} z_{1} z_{2}&=\frac{-b+\delta}{2 a} \frac{-b-\delta}{2 a} \\ &=\frac{1}{4 a^{2}}\left((-b)^{2}-(\delta)^{2}\right) \\ & =\frac{1}{4 a^{2}}\left(b^{2}-\Delta\right) \\ &=\frac{1}{4 a^{2}}\left(b^{2}-\left(b^{2}-4 a c\right)\right) \\ &=\frac{1}{4 a^{2}} 4 a c=\frac{c}{a} \end{aligned}
" \Leftarrow " On suppose que z_{1}+z_{2}=\frac{-b}{a} et z_{1} z_{2}=\frac{c}{a}
Pour tout z \in \mathbb{C}, on a :
\begin{aligned} a\left(z-z_{1}\right)\left(z-z_{2}\right) & =a\left(z^{2}-\left(z_{1}+z_{2}\right) z+z_{1} z_{2}\right) \\& =a\left(z^{2}+\frac{b}{a} z+\frac{c}{a}\right) \\& =a z^{2}+b z+c\end{aligned}
Donc \forall z \in \mathbb{C}, a z^{2}+b z+c=0 \Leftrightarrow z \in\left\{z_{1} ; z_{2}\right\}

Exercice d'application :
Résoudre dans \mathbb{C}^{2} le système (\mathrm{S}):\begin{cases}z_{1}+z_{2}=3 i \\ z_{1} z_{2}=-3-i\end{cases}.

Corrigé :
Soient z_{1} et z_{2} deux nombres complexes.
z_{1} et z_{2} sont des solutions du système (\mathrm{S}) si et seulement si z_{1} et z_{2} sont les deux solutions de l'équations (E) : z^{2}-3 i z-3-i=0
L'ensemble des solutions du système est \{(1+2 i,-1+i) ;(-1+i, 1+2 i)\}

VI) Racines n-ièmes d'un nombre complexe

Sauf mention explicite du contraire, dans toute cette section n \in \mathbb{N}^{*}.

Définition :
\bullet On appelle racine n-ième de l'unité toute racine n-ième de 1. C'est-à-dire, tout nombre complexe z tel que z^{n}=1.
\bullet On note \mathbb{U}_{n} lensemble des racines n-ièmes de l'unité. \mathbb{U}_{n}=\left\{\mathrm{z} \in \mathbb{C} / z^{n}=1\right\}.
\bullet On appelle racine n-ième d'un nombre complexe z tout nombre complexe z_{0} tel que z_{0}^{n}=z.

Exemple de racines n-ièmes de nombres complexes :

  • i est une racine deuxième (On dit aussi racine carrée) de -1.
  • j=e^{i \frac{2 \pi}{3}} est une racine troisième de 1 . C'est-à-dire j \in \mathbb{U}_{3} .
  • 1+i est une racine quatrième de -4 .
  • 1 et une racine n-ième de 1.C'est-à-dire 1 \in \mathbb{U}_{n} .
  • 1,-1, i,-i \in \mathbb{U}_{4}.

Remarque :

  • \forall n \in \mathbb{N}^{*},-1 \in \mathbb{U}_{n} \Leftrightarrow n est pair.
  • \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \mathbb{U}_{n} \subset \mathbb{U}.

Expression des racines n-ièmes de l'unité :
Il y a exactement n racines n-ièmes de l'unité. Plus précisément, si on note \omega=e^{\frac{2 i \pi}{n}} alors :
\mathbb{U}_{n}=\left\{\omega^{k} / k \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket\right\}=\left\{e^{\frac{2 i k \pi}{n}} / k \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket\right\}

Démonstration :
Soit z \in \mathbb{C}^{*}. On pose z=r e^{i \theta} avec \left.(r, \theta) \in\right] 0,+\infty[\times \mathbb{R}
\begin{aligned} z \in \mathbb{U}_{n} & \Leftrightarrow z^{n}=1 \\ & \Leftrightarrow \begin{cases} \left|z^{n}\right|=1 \\ \arg \left(z^{n}\right) \equiv 0[2 \pi] \end{cases} \\ & \Leftrightarrow \begin{cases} |z|^{n}=1 \\ n \cdot \arg (z) \equiv 0[2 \pi] \end{cases} \\ & \Leftrightarrow \begin{cases} |z|=1 \\ \arg (z) \equiv 0\left[\frac{2 \pi}{n}\right] \end{cases} \\ & \Leftrightarrow \begin{cases} r=1 \\ \theta \equiv 0\left[\frac{2 \pi}{n}\right] \end{cases} \\ & \Leftrightarrow z \in\left\{e^{i \frac{2 k \pi}{n}} / k \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket\right\} \end{aligned} .
Ainsi \mathbb{U}_{n}=\left\{\omega^{k} / k \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket\right\}

Exemple de quelque ensembles de racines n-ième de l'unité :
\bullet \mathbb{U}_{2}=\{-1 ; 1\}
\bullet \mathbb{U}_{3}=\left\{1, j, j^{2}\right\}
\bullet \mathbb{U}_{4}=\{1 ;-1 ; i,-i\}

Interprétation géométrique des racines n-ième de l'unité :
Dans le plan complexe, les points dont les affixes sont les racines n-ièmes de l'unité sont les sommets d'un polygone régulier à n-côtés inscrit dans le cercle trigonométrique.

Illustration :

Somme des racines n-ième de l'unité :
Soit n \in \mathbb{N}^{*} \backslash\{1\}. On pose \omega=e^{\frac{2 i \pi}{n}}.
On a : 1+\omega+\cdots+\omega^{n-1}=\sum_{k=0}^{n-1} \omega^{k}=0.

Démonstration :
\sum_{k=0}^{n-1} \omega^{k}=\frac{1-\omega^{n}}{1-\omega}=\frac{1-1}{1-\omega}=0

Exemple : Somme des racines troisième de l'unité :
1+j+j^{2}=0

Expression des racines n-ièmes d'un nombre complexe non nul :
Soit z \in \mathbb{C}^{*}, On écrit z sous sa forme trigonométrique z=r e^{i \theta}.
z admet n racines n-ièmes.
De plus, l'ensemble des racines n-ièmes de z est \left\{z_{k}=r^{\frac{1}{n}} e^{i\left(\frac{\theta}{n}+\frac{2 k \pi}{n}\right)} / k \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket\right\}.

Démonstration :
Soit z \in \mathbb{C}^{*}.
\begin{aligned} z^{n}=z_{0} & \Leftrightarrow\left(\frac{z}{r^{\frac{1}{n}} e^{i \frac{\theta}{n}}}\right)^{n}=1 \\& \Leftrightarrow \exists k \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket, \frac{z}{r^{\frac{1}{n}} e^{i \frac{\theta}{n}}}=e^{i \frac{2 k \pi}{n}} \\& \Leftrightarrow \exists k \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket, z=r^{\frac{1}{n}} e^{i\left(\frac{\theta}{n}+\frac{2 k \pi}{n}\right)} \end{aligned}

Méthode : Comment obtenir les racines n-ièmes d'un nombre complexe non nul ?
Pour obtenir les racines n-ièmes d'un nombre complexe non nul on peut :

  • Appliquer l'expression ci-dessus.
  • Multiplier l'une d'elle par les n racines n-ièmes de l'unité.

Exercice d'application :
Déterminer par deux méthodes les racines 3^{\text {ème }} de -i

Corrigé :
Méthode 1 :
On a   -i=e^{i \frac{3 \pi}{2}}.
Donc l'ensemble des racines 3^{\text {ème }} de -i est : \left\{e^{i\left(\frac{\pi}{2}+\frac{2 k \pi}{3}\right)} / k \in\{0 ; 1 ; 2\}\right\}.
C'est-à-dire : \left\{i ; e^{\frac{7 i \pi}{6}} ; e^{\frac{11 i \pi}{6}}\right\}

Méthode 2 :
On a i^{3}=-i donc i est une racine 3^{\text {ème }} \mathrm{de}-i.
Les racines 3^{\text {ème }} de 1 sont 1, j, j^{2}.
Donc les racines 3^{\text {ème }} \mathrm{de}-i sont : i, i j, i j^{2}.

VII) Exponentielle complexe

Définition :
Soit z \in \mathbb{C}, on appelle exponentielle complexe de \mathrm{z} et on note \exp (z) (On note aussi e^{z} ) le nombre complexe e^{\operatorname{Re}(z)} e^{i \operatorname{Im}(z)}.

Exemple :
e^{1+i \pi}=e^{1} e^{i \pi}=-e.

Propriétés de l'exponentielle complexe :
Soient z, z^{\prime} \in \mathbb{C}. On a :
i) e^{\mathrm{z}} \neq 0.
ii) e^{\mathrm{z}+\mathrm{z} \prime}=e^{\mathrm{z}} e^{\mathrm{z \prime}}.
iii) \frac{1}{e^{\mathrm{z}}}=e^{-\mathrm{z}}.
iv) \frac{e^{z}}{e^{z^{\prime}}}=e^{z-z^{\prime}}.

Démonstration :
i) On a e^{\operatorname{Re}(z)} \neq 0 et e^{i \operatorname{Im}(z)} \neq 0.
Donc e^{z}=e^{\operatorname{Re}(z)} e^{i \operatorname{Im}(z)} \neq 0
ii)
\begin{aligned} e^{z} e^{z^{\prime}}&=e^{\operatorname{Re}(z)+i \operatorname{Im}(z)} e^{\operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right)+i \operatorname{Im}\left(z^{\prime}\right)} \\ & =e^{\operatorname{Re}(z)} e^{i \operatorname{Im}(z)} e^{\operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right)} e^{i \operatorname{Im}\left(z^{\prime}\right)} \\ & =e^{\operatorname{Re}(z)+\operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right)+i\left(\operatorname{Im}(z)+\operatorname{Im}\left(z^{\prime}\right)\right)} \\ & =e^{\operatorname{Re}\left(z+z^{\prime}\right)+i \operatorname{Im}\left(z+z^{\prime}\right)} \\ & =e^{\mathrm{z}+z^{\prime}} \end{aligned}

iii)
Par ii) e^{-\mathrm{z}} e^{z}=e^{-\mathrm{z}+\mathrm{z}}=e^{0}=1.
Donc e^{-\mathrm{z}}=\frac{1}{e^{\mathrm{z}}}
iv)
Par ii) e^{z-z^{\prime}}=e^{z} e^{-z^{\prime}}.
Et par iii) e^{z-z^{\prime}}=e^{z} \cdot \frac{1}{e^{z^{\prime}}}=\frac{e^{z}}{e^{z^{\prime}}}

Autre propriétés de l'exponentielle complexe :
i) \forall z \in \mathbb{C}, e^{z}=1 \Leftrightarrow z \in 2 i \pi \mathbb{Z}.
ii) \forall z, z^{\prime} \in \mathbb{C}, e^{z}=e^{z^{\prime}} \Leftrightarrow z-z^{\prime} \in 2 i \pi \mathbb{Z}. Avec 2 i \pi \mathbb{Z}=\{2 i \pi k / k \in \mathbb{Z}\}.

Démonstration :
i) Soit z \in \mathbb{C}.
\begin{aligned} e^{z}=1 & \Leftrightarrow \begin{cases} \left|e^{z}\right|=1 \\ \arg \left(e^{z}\right) \equiv 0[2 \pi] \end{cases} \\ & \Leftrightarrow \begin{cases} e^{\operatorname{Re}(z)}=1 \\ \operatorname{Im}(z) \equiv 0[2 \pi] \end{cases} \\ & \Leftrightarrow \begin{cases} \operatorname{Re}(z)=0 \\ \exists k \in \mathbb{Z}, \operatorname{Im}(z)=2 k \pi \end{cases} \\ & \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{Z}, z=2 i k \pi \end{aligned}

ii) Soient z, z^{\prime} \in \mathbb{C}.
\begin{aligned} e^{z}=e^{z^{\prime}} & \Leftrightarrow e^{z-z^{\prime}}=1 \\ & \Leftrightarrow z-z^{\prime} \in 2 \mathrm{i} \pi \mathbb{Z} \end{aligned}

Surjectivité de l'exponentielle complexe :
L'application \exp : \underset{z \rightarrow e^{z}}{\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}^{*}} est surjective.

Démonstration :
Soient a \in \mathbb{C}^{*} et z \in \mathbb{C}
\begin{aligned} e^{z}=a & \Leftrightarrow \begin{cases} \left|e^{z}\right|=|a| \\ \arg \left(e^{z}\right) \equiv \arg (a)[2 \pi] \end{cases} \\ & \Leftrightarrow \begin{cases} e^{\operatorname{Re}(z)}=|a| \\ \operatorname{Im}(z) \equiv \arg (a)[2 \pi] \end{cases} \\ & \Leftrightarrow \begin{cases} \operatorname{Re}(z)=\ln |a| \\ \exists k \in \mathbb{Z}, \operatorname{Im}(z)=\arg (a)+2 k \pi \end{cases} \\ & \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{Z}, z=\ln |a|+i(\arg (a)+2 k \pi) \end{aligned}
En particulier, \exp (\ln |a|+i \arg (a))=a
L'application exp est donc surjective

Remarque :
Les solutions de l'équation e^{z}=a sont :
\begin{cases} \emptyset, \text { si } a=0 \\ \left\{|\ln (a)|+i(\arg (a)+2 k \pi) / k \in \mathbb{Z}\right\}, \text { si } a \neq 0 \end{cases}

VIII) Interprétation géométrique des nombres complexes

Angles et arguments :
Soient \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} , D trois points du plan complexe d'affixes respectifs a, b, c, d, tel que A \neq B et C \neq D. Alors :
i) (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{AB}) \equiv \arg (b-a)[2 \pi]
ii) (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{C D}) \equiv \arg \left(\frac{d-c}{b-a}\right)[2 \pi]

Démonstration :
i) Soit M le point du plan complexe d'affixe b-a.
Puisque \operatorname{Aff}(\overrightarrow{A B})=b-a alors \overrightarrow{O M}=\overrightarrow{A B}.
On a (\vec{u}, \overrightarrow{A B}) \equiv(\vec{u}, \overrightarrow{O M})[2 \pi].
Donc (\vec{u}, \overrightarrow{A B}) \equiv \arg (b-a)[2 \pi].

ii) Par la relation de Chasles (\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{C D}) \equiv(\overrightarrow{A B}, \vec{u})+(\vec{u}, \overrightarrow{C D})[2 \pi].
Donc (\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{C D}) \equiv-(\vec{u}, \overrightarrow{A B})+(\vec{u}, \overrightarrow{C D})[2 \pi].
D'où (\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{C D}) \equiv \arg (d-c)-\arg (b-a)[2 \pi].
Donc (\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{C D}) \equiv \arg \left(\frac{d-c}{b-a}\right)[2 \pi]

Corollaire :
Soient A, B, C trois points du plan complexe, deux à deux distincts, d'affixes respectifs a, b, c.
i) A, B, C sont alignés si et seulement si \frac{b-c}{a-c} \in \mathbb{R}.
ii) (C A) \perp(C B) si et seulement si \frac{b-c}{a-c} \in i \mathbb{R}.

Démonstration :
i)
\begin{aligned} A, B \text{ et } C \text{ sont alignés } & \Leftrightarrow(\overrightarrow{C A}, \overrightarrow{C B}) \equiv 0[\pi] \\ & \Leftrightarrow \arg \left(\frac{b-c}{a-c}\right) \equiv 0[\pi] \\ & \Leftrightarrow \frac{b-c}{a-c} \in \mathbb{R} \end{aligned}
ii)
\begin{aligned} (C A) \perp(C B) & \Leftrightarrow(\overrightarrow{C A}, \overrightarrow{C B}) \equiv \frac{\pi}{2}[\pi] \\ & \Leftrightarrow \arg \left(\frac{b-c}{a-c}\right) \equiv \frac{\pi}{2}[\pi] \\ & \Leftrightarrow \frac{b-c}{a-c} \in i \mathbb{R} \end{aligned}

Définition :
\bullet On appelle transformation du plan toute application bijective F: \mathcal{P} \rightarrow \mathcal{P} du plan dans lui-même.
\bullet Si F: \mathcal{P} \rightarrow \mathcal{P} est une transformation du plan, on appelle représentation complexe (ou écriture complexe) de F l'application f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} définie par: \forall M \in \mathcal{P}, f(\operatorname{Aff}(M))=\operatorname{Aff}(F(M)).

Transformations usuelles du plan :
i) Translation :
Soit \vec{w} un vecteur de plan \mathcal{P}.
On appelle translation de vecteur \vec{w} la transformation du plan T_{\vec{w}}: \mathcal{P} \rightarrow \mathcal{P} définie par : \forall M \in \mathcal{P}, T_{\vec{w}}(M)=M^{\prime} avec \overrightarrow{M M^{\prime}}=\vec{w}.
Écriture complexe d'une translation :
L'écriture complexe de la translation de vecteur \vec{w} est l'application t_{\vec{w}}: \underset{z \rightarrow z+a} {\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}} avec a=A f f(\vec{w}).
ii) Homothétie :
Soient \Omega un point du plan \mathcal{P} et k \in \mathbb{R}^{*}.
On appelle homothétie de centre \Omega et de rapport k la transformation de plan H_{\Omega, k}: \mathcal{P} \rightarrow \mathcal{P} définie par: \forall M \in \mathcal{P}, H_{\Omega, k}(M)=M^{\prime} avec \overrightarrow{\Omega M^{\prime}}=k \overrightarrow{\Omega M}.
Écriture complexe d'une homothétie :
L'écriture complexe de l'homothétie de centre \Omega et de rapport k est l'application h_{\Omega, k}: \underset{z \rightarrow \omega+k(z-\omega)}{\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}} avec \omega= \operatorname{Aff}(\Omega).
iii) Rotation :
Soient \Omega un point du plan \mathcal{P} et \theta \in \mathbb{R}.
On appelle rotation de centre \Omega et d'angle \theta la transformation du plan R_{\Omega, \theta}: \mathcal{P} \rightarrow \mathcal{P} définie par :
R_{\Omega, \theta}(\Omega)= \Omega et \forall M \in \mathcal{P} \setminus \{ \Omega \}, R_{\Omega, \theta}(M)=M^{\prime} avec \Omega M^{\prime}=\Omega M et (\overrightarrow{\Omega M}, \overrightarrow{\Omega M^{\prime})} \equiv \theta [2 \pi].
Écriture complexe d'une rotation :
L'écriture complexe de la notation de centre \Omega et d'angle \theta est l'application r_{\Omega, \theta}: \underset{z \rightarrow \omega+e^{i \theta}(z-\omega)}{\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}} avec \omega=A f f(\Omega).

Démonstration :
Soient M et M^{\prime} deux points du plan complexe d'affixes respectifs z et z^{\prime}.
i)
\begin{aligned} T_{\vec{w}}(M)=M^{\prime} & \Leftrightarrow \overrightarrow{M M^{\prime}}=\vec{w} \\ & \Leftrightarrow \operatorname{Aff}\left(\overrightarrow{M M^{\prime}}\right)=\operatorname{Aff}(\vec{w}) \\ & \Leftrightarrow z^{\prime}-z=a \\ & \Leftrightarrow z^{\prime}=z+a \end{aligned} .
Ainsi \forall z \in \mathbb{C}, \ \mathrm{t}_{\vec{w}}(z)=z+a.

ii)
\begin{aligned}  H_{\Omega, k}(M) =M^{\prime} & \Leftrightarrow \overrightarrow{\Omega M^{\prime}}=k \overrightarrow{\Omega M} \\ & \Leftrightarrow Aff \left(\overrightarrow{\Omega M^{\prime}}\right)=k A f f(\overrightarrow{\Omega M}) \\ & \Leftrightarrow z^{\prime}-\omega=k(z-\omega) \\ & \Leftrightarrow z^{\prime}=\omega+k(z-\omega) \end{aligned}
Ainsi \forall z \in \mathbb{C}, h_{\Omega, k}(z)=\omega+k(z-\omega)

iii) On a r_{\Omega, \theta}(\omega)=\omega.
Si M \neq \Omega alors :
\begin{aligned} R_{\Omega, \theta}(M)=M^{\prime} & \Leftrightarrow \Omega M^{\prime}=\Omega M \text { et }\left(\overrightarrow{\Omega M}, \overrightarrow{\Omega M^{\prime}}\right) \equiv \theta[2 \pi] \\ & \Leftrightarrow\left|z^{\prime}-\omega\right|=|z-\omega| \text { et } \arg \left(\frac{z^{\prime}-w}{z-w}\right) \equiv \theta[2 \pi] \\ & \Leftrightarrow \frac{z^{\prime}-\omega}{z-\omega}=e^{i \theta} \\ & \Leftrightarrow z^{\prime}=\omega+e^{i \theta}(z-\omega) \end{aligned}
Ainsi \forall z \in \mathbb{C}, r_{\Omega, \theta}(z)=\omega+e^{i \theta}(z-\omega).

Définition :
On appelle similitude directe du plan \mathcal{P} toute transformation du plan représentée dans le plan complexe par l'application \underset{z \rightarrow a z + b}{\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}} avec (a, b) \in \mathbb{C}^{*} \times \mathbb{C}.

Exemple de similitude directe :
Les translations, les rotations et les homothéties sont des similitudes directes.

Propriétés des similitudes directes :
i) La composée de deux similitudes directes est une similitude directe.
ii) Une similitude directe conserve les angles orientés et les rapports de longueurs.

Démonstration :
Soient (a, b),(c, d) \in \mathbb{C}^{*} \times \mathbb{C}.
On considère les similitudes directes dont les écritures complexes f et g sont définies par :
\forall z \in \mathbb{C}, f(z)=a z+b et g(z)=c z+d.
i) Soit z \in \mathbb{C}.
\begin{aligned} \mathrm{f} \circ \mathrm{g}(z) & =f(c z+d) \\ & =a(c z+d)+b \\ & =a c z+a d+b \end{aligned}
Puisque ac \neq 0 alors \mathrm{f} \circ \mathrm{g} est une écriture complexe d'une similitude directe.

ii) Soient A_{1}\left(z_{1}\right), A_{2}\left(z_{2}\right), A_{3}\left(z_{3}\right), A_{4}\left(z_{4}\right) quatre points, deux à deux distincts du plan complexe et soient A_{1}^{\prime}\left(z_{1}^{\prime}\right), A_{2}^{\prime}\left(z_{2}^{\prime}\right), A_{3}^{\prime}\left(z_{3}^{\prime}\right), A_{4}^{\prime}\left(z_{4}^{\prime}\right) leurs images respectives par la similitude d'écriture complexe f.
On a \begin{cases}z_{1}^{\prime}=a z_{1}+b \\ z_{2}^{\prime}=a z_{2}+b \\ z_{3}^{\prime}=a z_{3}+b \\ z_{4}^{\prime}=a z_{4}+b\end{cases}
Donc \frac{z_{4}^{\prime}-z_{3}^{\prime}}{z_{2}^{\prime}-z_{1}^{\prime}}=\frac{z_{4}-z_{3}}{z_{2}-z_{1}}
D'où
\begin{aligned} \left(\overrightarrow{A_{1}^{\prime} A_{2}^{\prime}}, \overrightarrow{A_{3}^{\prime} A_{4}^{\prime}}\right) & \equiv \arg \left(\frac{z_{4}^{\prime}-z_{3}^{\prime}}{z_{2}^{\prime}-z_{1}^{\prime}}\right)[2 \pi] \\ & \equiv \arg \left(\frac{z_{4}-z_{3}}{z_{2}-z_{1}}\right)[2 \pi] \\ & \equiv\left(\overrightarrow{A_{1} A_{2}}, \overrightarrow{A_{3} A_{4}}\right)[2 \pi] \end{aligned}
Cette similitude conserve donc les angles orientés.
Et on a :
\frac{A_{3}^{\prime} A_{4}^{\prime}}{A_{1}^{\prime} A_{2}^{\prime}}=\left|\frac{z_{4}^{\prime}-z_{3}^{\prime}}{z_{2}^{\prime}-z_{1}^{\prime}}\right|=\left|\frac{z_{4}-z_{3}}{z_{2}-z_{1}}\right|=\frac{A_{3} A_{4}}{A_{1} A_{2}}
Cette similitude conserve donc les rapports de longueurs.

Interprétation géométrique d'une similitude directe :
Soient (a, b) \in \mathbb{C}^{*} \times \mathbb{C} et F la similitude directe représentée dans le plan complexe par f: \underset{z \rightarrow a z+b}{\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}}.
1^{\mathrm{er}} cas :
Si a=1, \mathrm{~F} est la translation de vecteur d'affixe b.
2^{\text {ème }} cas :
Si a \neq 1, F admet un unique point invariant \Omega ( c'est-à-dire F(\Omega)=\Omega ) d'affixe \frac{b}{1-a}, appelé centre de la similitude.
De plus si \theta \equiv \arg (a)[2 \pi], alors F=R_{\Omega, \theta} \circ H_{\Omega,|a|}=H_{\Omega,|a|} \circ R_{\Omega, \theta}.
Le réel |a| est appelé rapport de la similitude et \theta est une mesure de l'angle de la similitude.

Démonstration :
2^{\text {ème }} cas :  Si a \neq 1
Soit M un point du plan complexe d'affixe z
\begin{aligned} F(M)=M & \Leftrightarrow f(z)=z \\ & \Leftrightarrow a z+b=z \\ & \Leftrightarrow(a-1) z=-b \\ & \Leftrightarrow z=\frac{b}{1-a} \end{aligned}
On pose \omega=\frac{b}{1-a} et on note \Omega le point du plan complexe d'affixe \omega.
\Omega est donc l'unique point invariant par F
On note r et h les écritures complexes respectifs de R_{\Omega, \theta} et H_{\Omega,|a|}
Soit z \in \mathbb{C}, on a :
\begin{aligned} r \circ h(z) & =e^{i \theta}(h(z)-\omega)+\omega \\& =e^{i \theta}(|a|(z-\omega))+\omega \\& =a z-a \omega+\omega \\& =a z+b\end{aligned}
Ainsi r \circ h=b
On montre par la même façon que h \circ r=f.
On conclut alors que F=R_{\Omega, \theta} \circ H_{\Omega,|a|}=H_{\Omega,|\mathrm{a}|} \circ R_{\Omega, \theta}

Remarque :
Lorsque a \neq 1 :
\bullet Si a \in \mathbb{R}^{*}, F est l'homothétie de centre \Omega et de rapport a.
\bullet Si |a|=1, \ F est la rotation de centre \Omega et d'angle \theta.

Exercice d'application :
Identifier les transformations du plan dont les représentations complexes sont les suivantes :
1) f_{1}: \underset{z \rightarrow z-1+3i}{\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}}.
2) f_{2}: \underset{z \rightarrow e^{i \pi /5}z}{\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}}.
3) f_{3}: \underset{z \rightarrow e^{i \pi /3}z-2}{\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}}.
4) f_{4}: \underset{z \rightarrow 3z-4-2i}{\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}}.
5) f_{5}: \underset{z \rightarrow -z+2-6i}{\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}}.
6) f_{6}: \underset{z \rightarrow (1-i)z+2+i}{\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}}.
7) f_{7}: \underset{z \rightarrow (1-i \sqrt 3 )z- 3}{\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}}.

Corrigé :
1) f_{1} est l'écriture complexe de la translation de vecteur d'affixe -1+3 i

2) f_{2} est l'écriture complexe de la rotation de centre O et d'angle \frac{\pi}{5}.

3) f_{3} est l'écriture complexe de la rotation d'angle \frac{\pi}{3} et de centre le point \Omega d'affixe \omega avec
\begin{aligned} \omega &=\frac{-2}{1-e^{i \frac{\pi}{3}}}=\frac{-2}{1-\left(\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)} \\ &=\frac{-2}{\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{-2\left(\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=-1-i \sqrt{3} \end{aligned}

4) f_{4} est l'écriture complexe de l'homothétie de rapport 3 et de centre le point \Omega d'affixe \omega avec :
\omega=\frac{-4-2 i}{1-3}=2+i

5) f_{5} est l'écriture complexe de la rotation d'angle \pi et de centre le point \Omega d'affixe \omega avec :
\omega=\frac{2-6 i}{1-(-1)}=1-3 i
Ou bien f_{5} est l'écriture complexe de l'homothétie de centre le point \Omega et de rapport -1.

6) \omega=\frac{2+i}{1-(1-i)}=\frac{2+i}{i}=1-2 i
On note \Omega le point du plan complexe d'affixe \omega
f_{6} est l'écriture complexe de la composée de la rotation d'angle \frac{-\pi}{4}['latex] et de centre [latex]\Omega et de l'homothétie de rapport |1-i|=\sqrt{2} et de centre \Omega.

7) \omega=\frac{-3}{1-(1-i \sqrt{3})}=i \sqrt{3}
|1-i \sqrt{3}|=\sqrt{1+(\sqrt{3})^{2}}=2
On note \Omega le point du plan complexe d'affixe \omega
Ainsi f_{7}=\mathrm{r}_{\Omega,-\frac{\pi}{3}} \circ h_{\Omega, 2}

Exercice d'application :
Donner l'application qui représente dans le plan complexe la similitude de rapport 2, d'angle - \frac{\pi}{3} et de centre le point d'affixe 1-\mathrm{i} \sqrt{3}.

Corrigé :
On note f l'écriture complexe de cette similitude.
On a \forall z \in \mathbb{C}, f(z)=a z+b avec :
a=2 e^{-i \frac{\pi}{3}} \text { et } \frac{b}{1-a}=1-i \sqrt{3}
Donc b=(1-i \sqrt{3})\left(1-2\left(\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)
D’où b=(1-i \sqrt{3}) i \sqrt{3}=3+i \sqrt{3}

Interprétation géométrique de la conjugaison :
L'application \mathbb{C} \underset{z \rightarrow \bar{z}}{\longrightarrow} \mathbb{C} est la représentation complexe de la réflexion d'axe des réels ((0, \vec{u})).