Logique et raisonnement, exercices corrigés | MPSI-MP2I-PCSI-PTSI

Cette série d’exercices corrigés en logique et raisonnement s’adresse particulièrement aux étudiants en prépa des filières MPSI, MP2I, PCSI et PTSI.
J’ai soigneusement sélectionné ces exercices pour vous permettre de mettre en pratique les connaissances acquises durant le cours logique et raisonnement, et pour vous préparer aux DS, colles et concours. J’ai également inclus des corrigés détaillés, pour que vous puissiez vérifier vos réponses et comprendre vos erreurs.

Exercices corrigés pour manipuler les quantificateurs, les connecteurs logiques et exprimer la négation négation de propositions.

Exercice 1 :
Soit f une fonction de \mathbb{R} dans \mathbb{R}. Traduire en termes de quantificateurs les expressions suivantes :
1) f est majorée.
2) fest bornée.
3) f est paire.
4) f est impaire.
5) f ne s’annule pas.
6) f n’est pas la fonction nulle.
7) f est périodique.
8) f est croissante.
9) f est strictement décroissante .
10) f n’a jamais les mêmes valeurs en deux points distincts.
11) f atteint toutes les valeurs de \mathbb{Z}.
12) f ne peut s’annuler qu’une seule fois.
13) f présente un maximum.

Corrigé de l’exercice 1 :

  1. \exists M \in \mathbb{R}, \forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x) \leqslant M.
  2. \exists M,m \in \mathbb{R}, \forall x \in \mathbb{R}, \quad m \leqslant f(x) \leqslant M
    ou par une autre écriture : \exists M \in \mathbb{R}^{+}, \forall x \in \mathbb{R}, \quad|f(x)| \leqslant M.
  3. \forall x \in \mathbb{R}, \quad f(-x)=f(x).
  4. \forall x \in \mathbb{R}, \quad f(-x)=-f(x).
  5. \forall x \in \mathbb{R}, f(x) \neq 0
  6. \exists x \in \mathbb{R}, f(x) \neq 0.
  7. \exists T \in \mathbb{R}^*, \forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x+T)=f(x).
  8. \forall x, y \in \mathbb{R}, \quad x<y \Rightarrow f(x) \leqslant f(y).
  9. \forall x, y \in \mathbb{R}, \quad x<y \Rightarrow f(x)>b(y).
  10. \forall x, y \in \mathbb{R}, x \neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y).
  11. \forall n \in \mathbb{Z}, \exists x \in \mathbb{R}, \quad f(x)=n.
  12. \exists x_0 \in \mathbb{R}, \forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x)=0 \Rightarrow x=x_0.
  13. \exists x_0 \in \mathbb{R}, \forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x) \leqslant f\left(x_0\right).

Exercice 2 :
Soient I un intervalle de \mathbb{R} non vide et f : I \rightarrow \mathbb{R} une fonction à valeurs réelles définie sur I.
Exprimer les négations des assertions suivantes :
1) \forall x \in I,\quad f(x) \neq 0.
2) \forall y \in \mathbb{R}, \exists x \in I, f(x)=y.
3) \exists M \in \mathbb{R}, \forall x \in I,\quad | f(x)| \leq M.
4) \forall x, y \in I, \quad x \leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y)
5) \forall x, y \in I, \quad f(x)=f(y) \Rightarrow x=y.
6) \forall x \in I, \quad f(x)>y \Rightarrow x \leq 0.

Corrigé de l’exercice 2 :

  1. \exists x \in I,\quad f(x)=0.
  2. \exists y \in \mathbb{R}, \forall x \in I, f(x) \neq y.
  3. \forall M \in \mathbb{R}, \exists x \in I,\quad | f(x)| > M.
  4. \exists x, y \in I, \quad x \leq y \text{ et } f(x) > f(y)
  5. \exists x, y \in I, \quad f(x)=f(y) \text{ et } x \neq y.
  6. \exists x \in I, \quad f(x)>y \text{ et } x > 0

Exercice 3 :
On considère la proposition (P) : \forall a \in \mathbb{R}, \forall b \in \mathbb{R}, \quad a b \leq a \Rightarrow (a \leq 0 \quad ou \quad b \geq 1).
1) Écrire l’implication réciproque de (P).
2) Écrire la contraposée de (P).
3) Écrire la négation de (P).
4) La proposition (P) est-elle vraie ou fausse ?
5) L’implication réciproque de (P) est-elle vraie ?

Corrigé de l’exercice 3 :

  1. \forall a \in \mathbb{R}, \forall b \in \mathbb{R}, \quad (a \leq 0 \quad ou \quad b \geq 1) \Rightarrow a b \leq a.
  2. \forall a \in \mathbb{R}, \forall b \in \mathbb{R}, \quad (a > 0 \quad et \quad b < 1) \Rightarrow a b > a.
  3. \exists a \in \mathbb{R}, \exists b \in \mathbb{R}, \quad a b \leq a \text{ et } (a > 0 \quad et \quad b < 1).
  4. Il suffit de prendre a=\frac {1}{2} et b= \frac {1}{2} pour s’assurer que ( \bar P ) est vraie, donc (P) est fausse.
  5. Il suffit de prendre a=-1 et b= 0 pour s’assurer que l’implication réciproque est fausse.

Exercices corrigés pour se familiariser avec tous les types de raisonnement

Exercice 4 :
Montrer, par l’absurde, que l’ensemble des nombres premiers est infini.

Corrigé de l’exercice 4 :
On suppose par l’absurde que l’ensemble des nombres premiers est fini.
On note N le plus grand nombre premier, et on pose M=N!+1.
Soit p un diviseur premier de M.
Puisque p \leqslant N, on a p \mid N!
Donc p \mid M-N! , c’est-à-dire p \mid 1 ce qui est absurde.
On conclut alors que l’ensemble des nombres premiers est infini.

Exercice 5 :
Montrer que \forall p \in \mathbb{P} ,\quad \sqrt{p} \notin \mathbb{Q}

Indications :
Utiliser un raisonnement par l’absurde
Voir la video ci-dessous

Exercice 6 :
Montrer que \forall n \in \mathbb{N}, \frac{n\left(n^{2}+1\right)}{2} \in \mathbb{N}

Corrigé de l’exercice 6 :
On va utiliser un raisonnement par disjonction des cas.
1^{\text {er}} cas : si n est pair
\exists k \in \mathbb{Z}, \quad n=2 k.
Donc \frac{n\left(n^{2}+1\right)}{2}=k\left(4 k^{2}+1\right) \in \mathbb{N}.
2^{\text {ème}} cas : si n est impair
\exists k \in \mathbb{Z}, \quad n =2 k+1.
\frac{n\left(n^{2}+1\right)}{2} =\frac{(2 k+1)\left(4 k^{2}+4 k+2\right)}{2} =(2 k+1)\left(2 k^{2}+2 k+1\right) \in \mathbb{N}.
Conclusion : \forall n \in \mathbb{N}, \frac{n\left(n^{2}+n\right)}{2} \in \mathbb{N}

Exercice 7 :
Déterminer toutes les applications de \mathbb{N} dans \mathbb{R} vérifiant \forall a, b \in \mathbb{N}, f(a+b)=f(a)+f(b).

Corrigé de l’exercice 7 :
On va utiliser un raisonnement par analyse-synthèse.
Étape de l’analyse :
On suppose qu’il existe f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} une application qui vérifie \forall a, b \in \mathbb{N}, \quad f(a+b)=f(a)+f(b).
Montrons par récurrence que \forall n \in \mathbb{N}, f(n)=n \cdot f(1).
Pour n=0.
f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0) . D’où  f(0)=0=0.f(1).
Soit n \in \mathbb{N}. On suppose que f(n)=nf(1) .
f(n+1)=f(n)+f(1)=n f(1)+f(1)=(n+1) f(1).
On conclut, par le principe de la récurrence, que \forall n \in \mathbb{N}, f(n)=nf(1).
Ainsi \exists r \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}, f(n)=nr
Synthèse :
Soit r \in \mathbb{R}.
On considère l’application f: \underset{n \rightarrow nr} {\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}}.
\forall a, b \in \mathbb{N}, \quad f(a+b)=(a+b)r=ar+br=f(a)+f(b).
Conclusion : Par le principe du raisonnement par analyse-synthèse, l’ensemble des fonctions f \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} vérifiant \forall a, b \in \mathbb{N},\quad f(a+b)=f(a)+f(b) est \{f: \underset{n \rightarrow nr} {\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}} \quad / r \in \mathbb{R}\}.

Exercice 8 :
Déterminer toutes les fonctions f de \mathbb{R} dans \mathbb{R} telles que \forall x,y \in \mathbb{R}, \quad f(x)f(y)=f(xy)+x+y

Corrigé :
Utiliser un raisonnement par analyse-synthèse
Voir la video ci dessous-pour corrigé

Exercice 9 :
Déterminer toutes les fonctions f de \mathbb{R} dans \mathbb{R} telles que \forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x)+xf(1-x)=1+x

Corrigé :
Utiliser le raisonnement par analyse-synthèse
Voir la video ci-dessous pour la correction

Exercice 10 :
Montrer par récurrence les propriétés suivantes :
a) \forall n \in \mathbb{N}, \quad \sum_{k=0}^{n} k ! \leq(n+1) !.
b) \forall n \in \mathbb{N}, \quad 10^{n}-1 est divisible par 9.

Corrigé de l’exercice 10 :
1)
Pour n=0
\sum_{k=0}^{0} k !=0 !=1 et (0+1) !=1 !=1.
D’où \sum_{k=0}^{0} k ! \leq(0+1) !.
Soit n \in \mathbb{N}. On suppose que \sum_{k=0}^{n} k ! \leqslant(n+1) !
\sum_{k=0}^{n+1} k !=\sum_{k=0}^{n} k !+(n+1) ! \leqslant(n+1) !+(n+1) !.
\sum_{k=0}^{n+1} k ! \leqslant 2 \cdot(n+1) ! \leqslant(n+2)(n+1) ! \leqslant(n+2) !.
On conclut, par le principe de la récurrence simple, que \forall n \in \mathbb{N}, \sum_{k=0}^{n} k ! \leqslant(n+1) !.
2)
Pour n=0.
10^{0}-1=1-1=0 et on a alors 9 \mid 10^{0}-1.
Soit n \in \mathbb{N}. On suppose que 9 divise 10^{n}-1.
10^{n+1}-1=10 \cdot 10^{n}-1=(9+1) \cdot 10^{n}-1=9 \cdot 10^{n}+10^{n}-1.
On a 9 \mid 9.10^{n} et 9 \mid 10^{n}-1, danc 9 \mid 9 \cdot 10^{n}+10^{n}-1.
Ce qui prouve que 9 / 10^{n+1}-1.
On conclut, par le principe de la récurrence simple, que \forall n \in \mathbb{N}, 9 \mid 10^{n}-1.

Exercice 11 :
On considère la suite \left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} définie par :
u_{0}=1 \text { et } \forall n \in \mathbb{N} \quad u_{n+1}=\frac{2}{n+1} \sum_{k=0}^{n} u_{k} u_{n-k}.
Montrer que \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n}=2^{n}.

Pour n=0.
On a 2^{0}=1=u_{0}.
Soit n \in \mathbb{N}. On suppose que \forall k \in \llbracket 0, n \rrbracket, \quad u_{k}=2^{k}.
u_{n+1}=\frac {2}{n+1} \sum_{k=0}^{n} u_{k} u_{n-k}=\frac {2}{n+1} \sum_{k=0}^{n} 2^{k} \cdot 2^{n-k}=\frac{2}{n+1}(n+1) 2^{n}=2^{n+1}.
On conclut, par le principe de la récurrence forte, que : \forall n \in \mathbb{N}, u_{n}=2^{n}.

Exercice 12 :
On considère la suite \left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} définie par :
u_{0}=0, u_{1}=1 et \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+2}=\frac{u_{n+1}+u_{n}}{2}+1.
Montrer que la suite \left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} est strictement croissante.

Corrigé exercice 12 :
On va montrer, par une récurrence double, que \forall_{n} \in \mathbb{N}, u_{n}<u_{n+1}.
Pour n=0.
On a u_{0}=0, u_{1}=1 et u_{2}=\frac {u_{1}+u_{0}}{2}+1=\frac {3}{2}.
Donc u_{0}<u_{1} et u_{1}<u_{2}.
Soit n \in \mathbb{N}. On suppose que u_{n}<u_{n+1} et u_{n+1}<u_{n+2}.
Alors u_{n}+u_{n+1}<u_{n+1}+u_{n+2}.
D’où \frac{u_{n}+u_{n+1}}{2}+1<\frac{u_{n+1}+u_{n+2}}{2}+1.
Alors u_{n+2}<u_{n+3}.
On conclut, par le principe de la récurrence double, que \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n}<u_{n+1}.
Autrement dit, la suite \left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} est strictement croissante.

Exercice 13 (Récurrence forte et disjonction des cas) :
Montrer que \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \exists(p, q) \in \mathbb{N}^{2}, n=2^{p}(2 q+1).

Corrigé exercice 13 :
On va utiliser ure récurrence forte.
Pour n=1.
n=2^{0}(2.0+1).
Soit n \in \mathbb{N}^{*}. On suppose que \forall k \in \llbracket 1,n \rrbracket, \exists p, q \in \mathbb{N}, \quad k=2^{p}(2 q+1).
1^{er} cas : Si n+1 et impair.
Alors \exists q \in \mathbb{N}, \quad n+1=2 q+1=2^{0}\left(2 q+1\right).
2^{\text {ième}} cas : Si n+1 est pair.
Alors \exists k \in \llbracket 1,n \rrbracket,, \quad n+1=2 k.
D’apès l’hypothèse de récurrence \exists p^{\prime}, q^{\prime} \in \mathbb{N}, \quad k=2^{p^{\prime}}(2 q^{\prime}+1).
D’où n+1=2^{p^{\prime}+1}(2 q^{\prime}+1).
Dans les deux cas \exists p, q \in \mathbb{N}, \quad n+1=2^{p}(2 q+1).

Exercice 14 :
Montrer que tout entier n \geq 2 se décompose en produit de nombres premiers.

Correction de l’exercice 14 :
Pour  n=2.
Puisque 2 est un nombre premier, la propriété est vraie au rang 2.
Soit n \in \mathbb{N} \backslash\{0 ; 1\}. On suppose que \forall k \in \llbracket 2,n \rrbracket , k se décompose en produit de nombres premiers.
1^{\text {er}} cas : Si n+1 est un nombre premier, c’est fini.
2^{\text {ème}} cas : Si n+1 n’est pas premier.
\exists p,q \in \llbracket 2,n \rrbracket , \quad n+1=p \cdot q
Par hypothèse de récurrence p et q se décomposent en un produit de nombres premiers.
Donc n+1 est un produit de nombres premiers.
On conclut, par le principe de la récurrence forte, que tout entier \geqslant 2 se décompose en produit de nombres premiers.

Exercice 15 :
Montrer que pour tout entier n \geq 8, il existe (a, b) \in \mathbb{N}^{2} tels que n=3 a+5 b.

Solution de l’exercice 15 :
On va prouver ce résultat par une récurrence à 3-pas.
Pour n \in \{8 ; 9 ; 10\}.
8=(3 \times 1)+(5 \times 1) et 9=(3 \times 3)+(5 \times 0) et 10=(3 \times 0)+(5 \times 2).
Donc la propriété est vraie pour n\in \{8 ; 9 ; 10 \} .
Soit n un entier \geqslant 8. On suppose qu’il existe a, b, a^{\prime}, b^{\prime}, a^{\prime \prime}, b^{\prime \prime} \in \mathbb{N} tels que n=3 a+5 b,n+1=3 a^{\prime}+5 b^{\prime}, n+2=3 a^{\prime \prime}+5 b^{\prime \prime}.
On a n+3=3 a+3+5 b=3(a+1)+5 b.
Ce qui signifie que la propriété est vraie au rang n+3.
On conclut, par le principe de la récurrence à 3-pas, que pour tout entier n \geqslant 8, il existe (a, b) \in \mathbb{N}^{2}, tels que n=3 a+5 b.

Exercice 16 :
Montrer que \forall n \in \mathbb{N},(1+\sqrt{2})^{n}+(1-\sqrt{2})^{n} \in \mathbb{N}.

Correction de l’exercice 16 :
On va prouver le résultat par une récurrence double.
Pour n=0 et n=1.
On a (1+ \sqrt {2} )^{0} +(1- \sqrt {2} )^{0}=2 \in \mathbb{N} et (1+ \sqrt {2} )^{1} +(1- \sqrt {2} )^{1}=2 \in \mathbb{N}.
Donc la propriété est vraie pour n=0 et n=1.
Soit n \in \mathbb{N} . On suppose que (1+ \sqrt {2} )^{n} +(1- \sqrt {2} )^{n} \in \mathbb{N} et (1+ \sqrt {2} )^{n+1} +(1- \sqrt {2} )^{n+1} \in \mathbb{N}.
(1+ \sqrt {2} )^{n+2} +(1- \sqrt {2} )^{n+2}=(3+2 \sqrt {2})(1+ \sqrt {2} )^{n} +(3-2 \sqrt {2})(1- \sqrt {2} )^{n}=(2(1+ \sqrt {2})+1)(1+ \sqrt {2} )^{n} +(2(1- \sqrt {2})+1) (1- \sqrt {2} )^{n}.
Donc (1+ \sqrt {2} )^{n+2} +(1- \sqrt {2} )^{n+2}=2((1+ \sqrt {2} )^{n+1} +(1- \sqrt {2} )^{n+1})+(1+ \sqrt {2} )^{n} +(1- \sqrt {2} )^{n} .
En utilisant l’hypothèse de récurrence (1+ \sqrt {2} )^{n+2} +(1- \sqrt {2} )^{n+2} \in \mathbb{N} .
On conclut par le principe de la récurrence double que \forall n \in \mathbb{N},(1+\sqrt{2})^{n}+(1-\sqrt{2})^{n} \in \mathbb{N}.

2 réponses

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