Ce cours sur les fractions rationnelles est conforme au programme des filières MPSI et MP2I. Il contient des exemples et des exercices d’application qui faciliteront votre assimilation du contenu. N’hésitez pas à consulter notre série d’exercices corrigés pour acquérir une maîtrise solide de cours.
Dans tout ce cours, le corps \mathbb{K} désigne \mathbb{R} ou \mathbb{C}.
I) Généralités sur les fractions rationnelles
Définition 1 : On appelle fraction rationnelle à coefficients dans \mathbb{K} toute expression de la forme F=\frac{P}{Q} où (P, Q) \in \mathbb{K}[X] \times \mathbb{K}[X]^{*}. On note \mathbb{K}(X) l’ensemble des fractions rationnelles à coefficients dans \mathbb{K}.
On admet que : Lorsque \left(P_{1}, P_{2}, Q_{1}, Q_{2}\right) \in \mathbb{K}[X]^{2} \times \mathbb{K}[X]^{*^{2}} alors : \bullet \frac{P_{1}}{Q_{1}}=\frac{P_{2}}{Q_{2}} \Leftrightarrow P_{1} Q_{2}=P_{2} Q_{2}. \bullet L’ensemble \mathbb{K}(X) contient \mathbb{K}[X] en identifiant tout polynôme P \in \mathbb{K}[X] à la fraction rationnelle \frac{P}{1}. \bullet Opérations algébriques dans \mathbb{K}(X) : i) \frac{P_{1}}{Q_{1}}+\frac{P_{2}}{Q_{2}}=\frac{P_{1} Q_{2}+P_{2} Q_{2}}{Q_{1} Q_{2}} . ii) \frac{P_{1}}{Q_{1}} \times \frac{P_{2}}{Q_{2}}=\frac{P_{1} P_{2}}{Q_{1} Q_{2}}.
Proposition 1 : (\mathbb{K}(X),+, \times) est un corps.
Remarque 1 : Soit F une fraction rationnelle à coefficients dans \mathbb{K} . Un couple (P, Q) \in \mathbb{K}[X] \times \mathbb{K}[X]^{*} tel que F=\frac{P}{Q} est dit représentant de la fraction rationnelle F. Ce couple n’est pas unique.
Forme irréductible d’une fraction rationnelle : Soit F une fraction rationnelle à coefficients dans \mathbb{K} . Il existe un unique couple (A, B) de \mathbb{K}[X], avec A \wedge B=1 et B unitaire, vérifiant F=\frac{A}{B}. Cette écriture s’appelle la forme irréductible de la fraction rationnelle F.
Exemple 2 : On pose F=\frac{X^{3}-X^{2}-X+1}{2 X^{3}-2 X} On a F=\frac{(X-1)^{2}(X+1)}{2(X-1) X(X+1)} Ainsi F=\frac{\frac{1}{2}(X-1)}{X} est la forme irréductible de la fraction F.
Proposition – définition : Soient F une fraction rationnelle à coefficients dans \mathbb{K} . et (P, Q) \in \mathbb{K}[X] \times \mathbb{K}[X]^{*} tels que F=\frac{P}{Q}. Le nombre \operatorname{deg}(P)-\operatorname{deg}(Q) ne dépend pas du couple (P, Q) représentant la fraction rationnelle F. On l’appelle degré de F et on le note \operatorname{deg}(F).
Démonstration : On suppose que F=\frac{P_{1}}{Q_{1}}=\frac{P_{2}}{Q_{2}} avec \left(P_{1}, P_{2}, Q_{1}, Q_{2}\right) \in \mathbb{K}[X]^{2} \times \mathbb{K}[X]^{*^{2}}. On a P_{1} Q_{2}=P_{2} Q_{1}. Donc \operatorname{deg}\left(P_{1} Q_{2}\right)=\operatorname{deg}\left(P_{2} Q_{1}\right). Ainsi \operatorname{deg}\left(P_{1}\right)+\operatorname{deg}\left(Q_{2}\right)=\operatorname{deg}\left(P_{2}\right)+\operatorname{deg}\left(Q_{1}\right). Ce qui signifie que \operatorname{deg}\left(P_{1}\right)-\operatorname{deg}\left(Q_{1}\right)=\operatorname{deg}\left(P_{2}\right)-\operatorname{deg}\left(Q_{2}\right).
Remarque 2 : \bullet \ \forall F \in \mathbb{K}(X), \operatorname{deg}(F) \in\{-\infty\} \cup \mathbb{Z}. \bullet \ \operatorname{deg}(0)=-\infty. \bullet Si P \in \mathbb{K}[X] alors \operatorname{deg}(P)=\operatorname{deg}\left(\frac{P}{1}\right).
Exemple 3 : \operatorname{deg}\left(\frac{X-1}{X^{2}+X+1}\right)=\operatorname{deg}(X-1)-\operatorname{deg}\left(X^{2}+X+1\right)=1-2=-1.
Proposition 2 : Soient F_{1}, F_{2} deux fractions rationnelles à coefficients dans le corps \mathbb{K}. On a : i) \operatorname{deg}\left(F_{1}+F_{2}\right) \leqslant \max \left(\operatorname{deg}\left(F_{1}\right), \operatorname{deg}\left(F_{2}\right)\right). ii) \operatorname{deg}\left(F_{1} F_{2}\right)=\operatorname{deg}\left(F_{1}\right)+\operatorname{deg}\left(F_{2}\right).
Démonstration : i) On pose F_{1}=\frac{P_{1}}{Q_{1}} et F_{2}=\frac{P_{2}}{Q_{2}} \operatorname{avec}\left(P_{1}, P_{2}, Q_{1}, Q_{2}\right) \in \mathbb{K}[X]^{2} \times \mathbb{K}[X]^{*^{2}}. On a F_{1}+F_{2}=\frac{P_{1} Q_{2}+P_{2} Q_{1}}{Q_{1} Q_{2}}. Donc \operatorname{deg}\left(F_{1}+F_{2}\right)=\operatorname{deg}\left(P_{1} Q_{2}+P_{2} Q_{1}\right)-\operatorname{deg}\left(Q_{1} Q_{2}\right). D’où \operatorname{deg}\left(F_{1}+F_{2}\right) \leqslant \max \left(\operatorname{deg}\left(P_{1} Q_{2}\right) ; \operatorname{deg}\left(P_{2} Q_{1}\right)\right)-\operatorname{deg}\left(Q_{1} Q_{2}\right). Ainsi \operatorname{deg}\left(F_{1}+F_{2}\right) \leqslant \max \left(\operatorname{deg}\left(P_{1} Q_{2}\right)-\operatorname{deg}\left(Q_{1} Q_{2}\right) ; \operatorname{deg}\left(P_{2} Q_{1}\right)-\operatorname{deg}\left(Q_{1} Q_{2}\right)\right). Donc \operatorname{deg}\left(F_{1}+F_{2}\right) \leqslant \max \left(\operatorname{deg}\left(P_{1}\right)+\operatorname{deg}\left(Q_{2}\right)-\operatorname{deg}\left(Q_{1}\right)-\operatorname{deg}\left(Q_{2}\right) ; \operatorname{deg}\left(P_{2}\right)+ \operatorname{deg}\left(Q_{1}\right)-\operatorname{deg}\left(Q_{1}\right)-\operatorname{deg}\left(Q_{2}\right)\right). D’où \operatorname{deg}\left(F_{1}+F_{2}\right) \leqslant \max \left(\operatorname{deg}\left(P_{1}\right)-\operatorname{deg}\left(Q_{1}\right) ; \operatorname{deg}\left(P_{2}\right)-\operatorname{deg}\left(Q_{2}\right)\right). Et finalement \operatorname{deg}\left(F_{1}+F_{2}\right) \leqslant \max \left(\operatorname{deg}\left(F_{1}\right) ; \operatorname{deg}\left(F_{2}\right)\right).
ii) On a F_{1} F_{2}=\frac{P_{1} P_{2}}{Q_{1} Q_{2}}. Donc \operatorname{deg}\left(F_{1} F_{2}\right)=\operatorname{deg}\left(P_{1} P_{2}\right)-\operatorname{deg}\left(Q_{1} Q_{2}\right). Ainsi \operatorname{deg}\left(F_{1} F_{2}\right)=\operatorname{deg}\left(P_{1}\right)+\operatorname{deg}\left(P_{2}\right)-\operatorname{deg}\left(Q_{1}\right)-\operatorname{deg}\left(Q_{2}\right). On conclut finalement que \operatorname{deg}\left(F_{1} F_{2}\right)=\operatorname{deg}\left(F_{1}\right)+\operatorname{deg}\left(F_{2}\right).
Définition 2 (zéro et pôle d’une fraction rationnelle) : Soit F une fraction rationnelle à coefficients dans \mathbb{K} . On écrit F sous sa forme irréductible F=\frac{P}{Q} avec (P, Q) \in \mathbb{K}[X] \times \mathbb{K}[X]^{*}. \bullet On dit que a \in \mathbb{K} est un zéro de F de multiplicité m lorsque a est une racine de P de multiplicité m. \bullet On dit que a \in \mathbb{K} est un pôle de F de multiplicité m lorsque a est une racine de Q de multiplicité m.
Exemple 3 : On pose F=\frac{X+1}{\left(X^{2}+X+1\right)(X-1)^{2}}. – Dans \mathbb{R}(X) on a : \bullet \ -1 est un zéro de multiplicité 1 de F. \bullet \ 1 est un pôle double (de multiplicité 2) de F. – Dans \mathbb{C}(X) on a de plus : j et \bar{j} sont deux pôles simples (de multiplicité 1 ) de F.
Proposition-définition : \forall F \in \mathbb{K}(X), \exists !(E, G) \in \mathbb{K}[X] \times \mathbb{K}(X) tels que F=E+G et \operatorname{deg}(G)<0. G est appelée la partie entière de la fraction rationnelle F.
Démonstration : Soit F \in \mathbb{K}(X). Existence : Il existe (P, Q) \in \mathbb{K}[X] \times \mathbb{K}[X]^{*} tels que F=\frac{P}{Q}. Par division euclidienne de P par Q il existe (E, R) \in \mathbb{K}[X]^{2} tels que : P=Q E+R avec \operatorname{deg}(R)<\operatorname{deg}(Q). On a F=\frac{Q E+R}{Q}=E+\frac{R}{Q}. On pose G=\frac{R}{Q}. On a alors G \in \mathbb{K}(X), \operatorname{deg}(G)<0 et F=E+G. Unicité : On suppose qu’il existe \left(E_{1}, G_{1}\right),\left(E_{2}, G_{2}\right) \in \mathbb{K}[X] \times \mathbb{K}(X) tels que : F=E_{1}+G_{1}=E_{2}+G_{2} \operatorname{avec} \operatorname{deg}\left(G_{1}\right)<0 et \operatorname{deg}\left(G_{2}\right)<0. Puisque E_{1}-E_{2}=G_{2}-G_{1} Alors : \operatorname{deg}\left(E_{1}-E_{2}\right)=\operatorname{deg}\left(G_{2}-G_{1}\right) \leqslant \max \left(\operatorname{deg}\left(G_{1}\right), \operatorname{deg}\left(G_{2}\right)\right). Donc \operatorname{deg}\left(E_{1}-E_{2}\right)<0. Ainsi E_{1}-E_{2}=0 ce qui signifie que E_{1}=E_{2}. Et par la suite G_{1}=G_{2}.
Exemple 4 : i) La partie entière de la fraction rationnelle \frac{1}{X} est 0.
ii) On pose F=\frac{X^{4}-X^{2}+X-1}{X^{2}+1}.
La partie entière de F est X^{2}-2.
Définition 3 (Fonction rationnelle) : Soit F une fraction rationnelle à coefficients dans \mathbb{K} . On écrit F sous sa forme irréductible F=\frac{P}{Q} et on note D l’ensemble des pôles de F. \bullet La fonction rationnelle associée à F est la fonction \begin{matrix} \tilde{F} &: & \mathbb{K} \setminus D & \rightarrow & \mathbb{K} \\ & &x& \rightarrow & \tilde{F}(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} \end{matrix} . \bullet Par abus de notation, pour tout a \in \mathbb{K} \setminus D , on note F(a)= \tilde{F}(a)= \frac{P(a)}{Q(a)} .
Exemple 5 : i) Pour F=\frac{1}{X} \in \mathbb{R}(X) la fraction rationnelle associée à F est \begin{matrix} \tilde{F}&:& \mathbb{R}^{*} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & & x & \rightarrow & \frac{1}{x} \end{matrix} .
ii) Pour F=\frac{1}{X} \in \mathbb{C}(X), la fonction rationnelle associée à F est \begin{matrix} \tilde{F}&:& \mathbb{C}^{*} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & & z & \rightarrow & \frac{1}{z} \end{matrix} .
Proposition 3 : Soient F_{1}, F_{2} deux fractions rationnelles à coefficients dans le corps \mathbb{K} et E un ensemble infinie ne contenant aucun pôle de F_{1} ou de F_{2}. Si \forall x \in E, \ F_{1}(x)=F_{2}(x) alors F_{1}=F_{2}.
Démonstration : On écrit F_{1} et F_{2} sous leur forme irréductible F_{1}=\frac{P_{1}}{Q_{1}} et F_{2}=\frac{P_{2}}{Q_{2}}. Pour tout x \in E on a : \left(F_{1}-F_{2}\right)(x)=\left(\frac{P_{1}}{Q_{1}}-\frac{P_{2}}{Q_{2}}\right)(x)=\frac{\left(P_{1} Q_{2}-P_{2} Q_{1}\right)(x)}{\left(Q_{1} Q_{2}\right)(x)}=0. Donc \forall x \in E,\left(P_{1} Q_{2}-P_{2} Q_{1}\right)(x)=0. Ainsi P_{1} Q_{2}-P_{2} Q_{1}=0 car ce polynôme admet une infinité de racines. Par la suite P_{1} Q_{2}=P_{2} Q_{1}, ce qui signifie que F_{1}=F_{2}.
Proposition 4 : Soient F_{1}, F_{2} deux fractions rationnelles à coefficients dans le corps \mathbb{K} et \lambda \in \mathbb{K}. i) \widetilde{F_{1} + \lambda F_{2}}=\tilde{F}_{1}+\lambda \tilde{F}_{2}. ii) \widetilde{F_{1} F_{2}}=\widetilde{F}_{1} \widetilde{F}_{2}.
II) Décomposition en éléments simples (DES) d’une fraction rationnelle
1) Théorème de la décomposition en éléments simples
Définition 4 : On appelle éléments simples de \mathbb{K}(X) : \bullet Les monômes de \mathbb{K}[X]\left(\lambda X^{n} / \lambda \in \mathbb{K}\right. et \left.n \in \mathbb{N}\right). \bullet Les fractions de \mathbb{K}(X) de la forme \frac{A}{B^{n}} avec : \begin{cases} A \in \mathbb{K}[X]^{*} \\ B \text{ un polynôme non constant et irréductible de } \mathbb{K}[X] \\ n \in \mathbb{N}^{*} \\ \operatorname{deg}(A)<\operatorname{deg}(B) \end{cases} .
Exemple 6 : i) Dans \mathbb{C}(X) on a : \bullet \ 2 \mathrm{i} X^{3} est un élément simple. \bullet \ \frac{1}{X} est un élément simple. \bullet \ \frac{1}{(X-1)^{3}} est un élément simple. \bullet \ \frac{1}{(X-1) X} n’est pas un élément simple. \bullet \ \frac{1}{(X^{2}+X+1} n’est pas un élément simple. \bullet \ \frac{X+1}{X-1} n’est pas un élément simple. \bullet \ X+\frac{1}{X} n’est pas un élément simple.
ii) Dans \mathbb{R}(X) : \bullet \ 3 X^{2} est un élément simple. \bullet \ \frac{1}{2 X} est un élément simple. \bullet \ \frac{1}{X^{2}+X+1} est un élément simple. \bullet \ \frac{2}{(X+1)^{5}} est un élément simple. \bullet \ \frac{X^{2}}{X-1} n’est pas un élément simple. \bullet \ \frac{1}{X^{4}+1} n’est pas un élément simple. \bullet \ \frac{1}{X^{2}-1} n’est pas un élément simple. \bullet \ \frac{1}{X^{3}+X^{2}+1} n’est pas un élément simple.
Théorème de la décomposition en éléments simples dans \mathbb{C}(X). Soit F une fraction rationnelle de \mathbb{C}(X) dont les pôles deux à deux distincts sont les nombres complexes a_{1}, \ldots, a_{n}. On note E la partie entière de F et m_{1}, \ldots, m_{n} les ordres de multiplicités respectifs de a_{1}, \ldots, a_{n}. La DES de F s’écrit comme suit : F=E+\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m_{i}} \frac{\lambda_{i, j}}{\left(x-a_{i}\right)^{j}} avec \forall i \in \llbracket \mathbb{1}, n \rrbracket, \forall j \in \llbracket \mathbb{1}, m_{i} \rrbracket, \lambda_{i, j} \in \mathbb{K} . De plus, cette DES est unique.
Exemple 7 : i) On pose F=\frac{1}{(X-1)(X-2)^{3}}. La DES de F dans \mathbb{C}(X) est : F=\frac{a}{X-1}+\frac{b}{X-2}+\frac{c}{(X-2)^{2}}+\frac{d}{(X-2)^{3}} avec a, b, c, d des nombres complexes à déterminer.
ii) On pose F=\frac{X}{(X-1)^{2}\left(X^{2}+X+1\right)} La DES de F dans \mathbb{C}(X) est : F=\frac{a}{X-1}+\frac{b}{(X-1)^{2}}+\frac{c}{X-j}+\frac{d}{X-\bar{j}} avec a, b, c, d des nombres complexes à déterminer.
Théorème de la décomposition en éléments simples dans \mathbb{R}(X). Soit F une fraction rationnelle de \mathbb{R}(X) de forme irréductible F=\frac{P}{Q} et de partie entière E. Si la décomposition primaire de Q est Q=\prod\limits_{k=1}^{s}\left(X-a_{k}\right)^{m_{k}} \prod\limits_{k=1}^{q}\left(X^{2}+b_{k} X+c_{k}\right)^{r_{k}} alors la décomposition en éléments simples de F dans \mathbb{R}(X) est : F=E+\sum\limits_{k=1}^{s} \sum\limits_{j=1}^{m_{k}} \frac{\lambda_{k, j}}{\left(X-a_{k}\right)^{j}}+\sum\limits_{k=1}^{q} \sum\limits_{j=1}^{r_{k}} \frac{\alpha_{k, j} X+\beta_{k, j}}{\left(X^{2}+b_{k} X+c_{k}\right)^{j}}. Avec les \lambda_{k, j}, les \alpha_{k, j} et les \beta_{k, j} sont des nombres réels. De plus cette DES est unique.
Exemple 8 : i) La DES de F=\frac{1}{(X-1)^{3}\left(X^{2}+X+1\right)^{2}} dans \mathbb{R}(X) est : F=\frac{a}{X-1}+\frac{b}{(X-1)^{2}}+\frac{c}{(X-1)^{3}}+\frac{\alpha X+\beta}{X^{2}+X+1}+\frac{\gamma X+\lambda}{\left(X^{2}+X+1\right)^{2}} où a, b, c, \alpha, \beta, \gamma, \lambda sont des nombres réels à déterminer.
ii) La DES de F=\frac{X}{X^{4}+1} dans \mathbb{R}(X) est : F=\frac{a X+b}{X^{2}-\sqrt{2} X+1}+\frac{c X+d}{x^{2}+\sqrt{2} X+1} où a, \ b,\ c, \ d sont des nombres réels à déterminer.
2) Pratique de la décomposition en éléments simples
Soient F \in \mathbb{K}(X)^{*}, F=\frac{N}{D} sa forme réduite et a \in \mathbb{K} un pôle de F.
Technique 1 : Lorsque a est un pôle simple de F.
On peut écrire F=\frac{\lambda}{X-a}+F_{1} avec \lambda \in \mathbb{K} et F_{1} \in \mathbb{K}(X) tel que a n’est pas un pôle de F_{1}. On peut également écrire D=(X-a) D_{\lambda} avec D_{\lambda} est un polynôme de \mathbb{K}[X] tel que D_{\lambda}(a) \neq 0.
Méthode 1 : On a F=\frac{N}{(X-a) D_{\lambda}}=\frac{\lambda}{X-a}+F_{1}. Ainsi \frac{N}{D_{\lambda}}=\lambda+(X-a) F_{1}. D’où \frac{N(a)}{D_{\lambda}(a)}=\lambda.
Méthode 2 : En dérivant la relation D=(X-a) D_{\lambda} on trouve D^{\prime}=D_{\lambda}+(X-a) D_{\lambda}^{\prime}. Donc D^{\prime}(a)=D_{\lambda}(a). Donc \lambda=\frac{N(a)}{D \prime(a)}.
Exercice d’application 1 : On pose F=\frac{1}{X(X-1)}. Déterminer la DES de la fraction F dans \mathbb{R}(X).
Corrigé : La DES de F s’écrit F=\frac{a}{X}+\frac{b}{X-1} où a et b sont deux nombres réels qu’on va déterminer. \bullet Méthode 1 : On a D_{a}=X-1 et D_{b}=X. Donc a=\frac{N(0)}{D_{a}(0)}=\frac{1}{0-1}=-1 et b=\frac{N(1)}{D_{b}(1)}=\frac{1}{1}=1. Ainsi F=\frac{-1}{X}+\frac{1}{X-1}. \bullet Méthode 2 : On a D^{\prime}=(X-1)+X. Donc D^{\prime}(0)=-1 et D^{\prime}(1)=1. Donc a=\frac{N(0)}{D^{\prime}(0)}=\frac{1}{-1}=-1 et b=\frac{N(1)}{D^{\prime}(1)}=\frac{1}{1}=1. Ainsi F=\frac{-1}{X}+\frac{1}{X-1}.
Corrigé : On a F=\frac{1}{\prod\limits_{k=0}^{n-1}\left(X-\omega^{k}\right)} avec \omega=e^{\frac{2 i \pi}{n}}. Ainsi la DES de F s’écrit F=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{\lambda_{k}}{X-\omega^{k}} \operatorname{avec} \forall k \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket, \lambda_{k}=\frac{N\left(\omega^{k}\right)}{D^{\prime}\left(\omega^{k}\right)}=\frac{1}{n\left(\omega^{k}\right)^{n-1}}=\frac{\omega^{k}}{n}. Ainsi la DES de F est : F=\sum\limits_{k=0}^{n-1} \frac{\frac{1}{n} \omega^{k}}{X-\omega^{k}}.
Technique 2 : Lorsque a est un pôle multiple de F de multiplicité m \in \mathbb{N} \setminus \{0 ; 1\}.
On peut écrire F=\frac{N}{D}=F_{1}+F_{2}+\frac{\lambda}{(x-a)^{m}} avec F_{1}=\sum_{k=1}^{m-1} \frac{\lambda_{k}}{(X-a)^{k}}, F_{2} \in \mathbb{K}(X) telle que a n’est pas un pôle de la fraction F_{2}. On peut aussi écrire D=(X-a)^{m} D_{\lambda} avec D_{\lambda}(a) \neq 0. Donc \frac{N}{D_{\lambda}}=(X-a)^{m} F=(X-a)^{m} F_{1}+(X-a)^{m} F_{2}+\lambda. On conclut alors que : \lambda=\frac{N(a)}{D_{\lambda}(a)}.
Technique 3 : On peut aussi :
\bullet Identifier les coefficients. \bullet Utiliser les limites en \pm \infty. \bullet Évaluer F en b \in \mathbb{K} avec b n’est pas un pôle de F. \bullet Exploiter éventuellement la parité de \tilde{F}. \bullet Si F \in \mathbb{R}(X) alors \bar{F}=F.
Exercice d’application 3 : Déterminer la DES dans \mathbb{R}(X) de F=\frac{1}{X(X-1)^{3}}.
Corrigé : La DES de F s’écrit F=\frac{a}{X}+\frac{b}{X-1}+\frac{c}{(X-1)^{2}}+\frac{d}{(X-1)^{3}}. Déterminons les réels a, \ b, \ c , \ d. a=\frac{N(0)}{D_{a}(0)}=\frac{1}{-1}=-1. d=\frac{N(1)}{D_{d}(1)}=\frac{1}{1}=1. On a (X-1) F=\frac{a(X-1)}{X}+b+\frac{c}{X-1}+\frac{d}{(X-1)^{2}}=\frac{1}{X(X-1)^{2}}. En faisant tendre X vers +\infty, on obtient : 0=a+b. Ainsi b=1. On a F(2)=\frac{a}{2}+b+c+d=\frac{1}{2}. Ainsi -\frac{1}{2}+1+c+1=\frac{1}{2}. On trouve alors c=-1. Finalement F=-\frac{1}{X}+\frac{1}{X-1}-\frac{1}{(X-1)^{2}}+\frac{1}{(X-1)^{3}}.
Corrigé : On a F=\frac{1}{\left(X^{2}-\sqrt{2} X+1\right)\left(X^{2}+\sqrt{2} X+1\right)} . La DES de F s’écrit F=\frac{a X+b}{x^{2}-\sqrt{2} x+1}+\frac{c X+d}{x^{2}+\sqrt{2} x+1} où a, \ b , c, \ d sont des nombres réels qu’on va déterminer. \bullet En faisant tendre X vers +\infty dans XF on trouve : 0=a+c. \bullet Et on a F(-X)=F(X). Donc \frac{-a X+b}{X^{2}+\sqrt{2} X+1}+\frac{-c X+d}{X^{2}-\sqrt{2} X+1}=\frac{a X+b}{X^{2}-\sqrt{2} X+1}+\frac{c X+d}{X^{2}+\sqrt{2} X+1}. Par unicité de la DES -a=c et b=d. \bullet On a F(0)=1=b+d. Donc b=d=\frac{1}{2}. \bullet Et on a F(\sqrt{2})=\frac{1}{5}=a \sqrt{2}+\frac{1}{2}+\frac{-a \sqrt{2}+\frac{1}{2}}{5}. Donc 1=5 a \sqrt{2}+\frac{5}{2}-a \sqrt{2}+\frac{1}{2}=4 a \sqrt{2}+3. Ainsi a=\frac{-2}{4 \sqrt{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4} et c=\frac{\sqrt{2}}{4}. On conclut finalement que F=\frac{\frac{-\sqrt{2}}{4} X+\frac{1}{2}}{X^{2}-\sqrt{2} X+1}+\frac{\frac{\sqrt{2}}{4} X+\frac{2}{2}}{X^{2}+\sqrt{2} X+1}.
Corrigé : La DES de F s’écrit F=\frac{1}{(X-j)(X-\bar{j})}=\frac{a}{X-j}+\frac{b}{X-\bar{j}}. Puisque tous les coefficients de F sont réels alors \bar{F}=\frac{\bar{a}}{X-\bar{j}}+\frac{\bar{b}}{X-j}=F. Par unicité de la DES on trouve b=\bar{a}. Et on a a=\frac{N(j)}{D^{\prime}(j)}=\frac{1}{2 j+1}=\frac{1}{2\left(-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)+1}=-i \frac{\sqrt{3}}{3}. Et par la suite b=i \frac{\sqrt{3}}{3}. On conclut alors que F=\frac{-i \frac{\sqrt{3}}{3}}{X-j}+\frac{i \frac{\sqrt{3}}{3}}{X-\bar{j}}.
Proposition 5 : Soit P \in \mathbb{K}[X] un polynôme scindé sur \mathbb{K}[X]. On note a_{1}, \ldots, a_{n} les racines deux à deux distinctes de P, et ont note m_{1}, \ldots, m_{n} leurs multiplicités respectives. La DES de \frac{P^{\prime}}{P} dans \mathbb{K}(X) est : \frac{P^{\prime}}{P}=\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{m_{k}}{X-a_{k}}. En particulier \frac{P^{\prime}}{P} n’a que des pôles simples.
Démonstration : On a P=c d(P) \prod\limits_{k=1}^{n}\left(X-a_{k}\right)^{m_{k}} où cd(P) désigne le coefficient dominant de P. Donc P^{\prime}=c d(P) \sum\limits_{k=1}^{n} m_{k}\left(X-a_{k}\right)^{m_{k}-1} \prod\limits_{\substack{j=1 \\ j \neq k}}^{n}\left(X-a_{j}\right)^{m_{j}}. Ainsi \frac{P^{\prime}}{P}=\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{m_{k}}{X-a_{k}}.
Corrigé : On a \frac{2 X}{X^{2}-1}=\frac{\left(X^{2}-1\right)^{\prime}}{X^{2}-1} et X^{2}-1=(X-1)(X+1). Donc \frac{2 X}{X^{2}-1}=\frac{1}{X-1}+\frac{1}{X+1}. Ainsi \frac{X}{X^{2}-1}=\frac{\frac{1}{2}}{X-1}+\frac{\frac{1}{2}}{X+1}.
Corrigé : On a F=\frac{4 X-3}{X^{2}-X}=\frac{4 X^{3}-3 X^{2}}{X^{4}-X^{3}}=\frac{\left(X^{4}-X^{3}\right)^{\prime}}{X^{4}-X^{3}}. Et on a X^{4}-X^{3}=X^{3}(X-1). Donc F=\frac{1}{X-1}+\frac{3}{X}.
