Sommaire
Partie 1 : Logarithme népérien, exponentielle, puissances
I) Logarithme népérien
On appelle logarithme népérien et on note \ln l’unique primitive, s’annulant en 1, de la fonction x \rightarrow \frac{1}{x} définie sur ]0,+\infty.
Autrement dit : \forall x \in ]0,+\infty[ , \quad ln(x)= \int_{1}^{x} \frac{d t}{t}.
1) Premières propriétés :
a) \ln (1)=0.
b) La fonction \ln est continue sur ] 0,+\infty[.
c) La fonction \ln est dérivable sur ] 0,+\infty[ et \forall x \in] 0,+\infty\left[, \ln ^{\prime} x=\frac{1}{x}\right.. En particulier la fonction ln est strictement croissante sur ]0, +\infty[ .
d) La fonction \ln est de classe C^{\infty} sur ] 0,+\infty[.
Démonstration :
1-a) \ln (1)=\int_{1}^{1} \frac{d t}{t}=0
1-b) et 1-c) ln est une primitive sur ] 0,+\infty\left[\right. de la fonction continue x \rightarrow \frac{1}{x}, ln est donc dérivable (en particulier continue) sur ] 0,+\infty[.
Et \forall x \in] 0,+\infty\left[,\quad \ln ^{\prime}(x)=\frac{1}{x}\right..
1-d) Par opérations sur les fonctions de clase C^{\infty}, la fonction x \rightarrow \frac{1}{x} est de classe C^{\infty} sur ] 0,+\infty[, sa primitive ln est donc de classe C^{\infty} sur ] 0,+\infty[.
2) Propriétés algébriques du logarithme :
Soient x, y \in] 0,+\infty[ et n \in \mathbb{Z}. On a :
a) \ln (x y)=\ln x+\ln y.
b) \ln \frac{1}{x}=-\ln x.
c) \ln \frac{x}{y}=\ln x-\ln y.
d) \ln \left(x^{n}\right)=n \ln x.
Démonstration :
2-a) On définit la fonction f: z \mapsto \ln (z y)-\ln (z)-\ln (y).
On a \forall z \in] 0,+\infty[, f^{\prime}(z)=\frac{y}{z y}-\frac{1}{z}=0 .
f est donc constante sur ] 0,+\infty[.
Ainsi f(x)=f(1)=\ln (y)-\ln (1)-\ln (y)=0.
Donc \ln (x y)=\ln (x)+\ln (y).
b) On a 0=\ln (1)=\ln \left(\frac{x}{x}\right)=\ln (x)+\ln \left(\frac{1}{x}\right).
Donc \ln \left(\frac{1}{x}\right)=-\ln (x).
c) On a \ln \left(\frac{x}{y}\right)=\ln (x)+\ln \left(\frac{1}{y}\right).
Par 2-b) \ln \left(\frac{x}{y}\right)=\ln (x)-\ln (y).
d) Par récurrence en utilisant 2-a)
3) Limites usuelles pour \ln :
a) \lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \ln x=+\infty et \lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} \ln x=-\infty.
b) \lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln x}{x}=0 et \lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} x \ln x=0.
c) \lim\limits_{\substack{x \rightarrow 1 \\ x \neq 1}} \frac{\ln x}{x-1}=1 et \lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \neq 0}} \frac{\ln (1+x)}{x}=1.
Démonstration :
3-a) La fonction ln est strictement croissante.
Donc par le théorème de la limite monotone \lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \ln (x) \in \mathbb{R} ou \lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \ln (x)=+\infty On suppose par l’absurde que \lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \ln (x)=l \in \mathbb{R}.
En faisant tendre x vers +\infty dans cette inégalité, l \geqslant 1.
On a \forall x \in \mathbb{R}, \ln (2 x)=\ln (2)+\ln (x).
En faisant tendre x vers +\infty, on trouve l=\ln (2)+l.
Ainsi 0=\ln (2) ce qui est absurde. Ainsi \lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \ln (x)=+\infty.
Et par conséquent \lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} \ln (x)=\lim\limits _{t \rightarrow+\infty} \ln \left(\frac{1}{t}\right)=\lim\limits _{t \rightarrow+\infty}-\ln (t)=-\infty.
b) On a \forall t \in\left[1,+\infty\left[, \frac{1}{t} \leqslant \frac{1}{\sqrt{t}}\right.\right.
Par croissance de l’intégrale \forall x \in [1,+\infty [, \int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t \leqslant \int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t .
Donc \forall x \in [1,+\infty [, \ln (x) \leqslant[2 \sqrt{\mathrm{t}}]_{1}^{x} \leqslant 2 \sqrt{x} .
Ainsi \forall x \in [1,+\infty [, 0 \leqslant \frac{\ln (x)}{x} \leqslant \frac{2}{\sqrt{x}}.
Puisque \lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{2}{\sqrt{x}}=0 alors par encadrement \lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln (x)}{x}=0.
Et on a \lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} x \ln (x)=\lim\limits _{t \rightarrow+\infty} \frac{1}{t} \ln \left(\frac{1}{t}\right)=\lim\limits _{t \rightarrow+\infty} \frac{-\ln (t)}{t}=0.
c) \lim\limits _{\substack{x \rightarrow 1 \\ x \neq 1}} \frac{\ln (x)}{x-1}=\lim\limits _{\substack{x \rightarrow 1 \\ x \neq 1}} \frac{\ln (x)-\ln (1)}{x-1}=\ln ^{\prime}(1)=\frac{1}{1}=1.
Par un changement d’indice \lim\limits _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \neq 0}} \frac{\ln (x+1)}{x}=\lim\limits _{\substack{t \rightarrow 1 \\ t \neq 1}} \frac{\ln (t)}{t-1}=1.
4) Inégalité de convexité :
On a \forall x \in]-1,+\infty[, \ln (1+x) \leq x.
Démonstration :
La fonction ln est concave donc sa courbe et en dessous de toute ses tangentes. L’équation de la tangente à la courbe de \ln en 1 est \left(T_{1}\right): y=\ln ^{\prime}(1)(x-1)+\ln (1).
D’où \left(T_{1}\right): y=x-1.
On a donc \forall x \in] 0,+\infty[, \ln (x) \leqslant x-1.
Ou encore \forall x \in]-1,+\infty[, \ln (x+1) \leqslant x.
5) La fonction \ln :] 0,+\infty[\rightarrow \mathbb{R} est bijective.
Nombre de Néper : Il existe un unique réel, qu’on note e, vérifiant \ln (e)=1.
Démonstration :
La fonction ln est continue et strictement croissante donc ln est une bijection de ]0, +\infty[ dans \ln (] 0,+\infty[)=]-\infty,+\infty[.
Ainsi \exists e \in]-\infty,+\infty[, \ln (e)=1
6) Représentation graphique de la fonction \ln
II) Exponentielle
On appelle fonction exponentielle, et on note \exp, la fonction \ln ^{-1}.
1) Premières propriétés
a) \forall x \in] 0,+\infty[, \exp (\ln x)=x et \forall y \in \mathbb{R}, \ln ( expy )=y.
b) exp est continue sur \mathbb{R}.
c) \exp est dérivable sur \mathbb{R}, et \forall x \in \mathbb{R}, \exp ^{\prime}(x)=\exp (x).
En particulier, exp est strictement croissante sur \mathbb{R} .
d) \exp est de classe \mathrm{C}^{\infty} sur \mathbb{R}.
Démonstration :
ln est de classe C^{\infty} sur ] 0,+\infty[ et \forall x \in] 0,+\infty\left[, \ln ^{\prime}(x)=\frac{1}{x} \neq 0\right..
Donc exp est de classe C^{\infty} sur \mathbb{R}, et pour tout y \in \mathbb{R} on a :
\begin{aligned} \exp (y) & =\left(\ln ^{-1}\right)^{\prime}(y) \\ & =\frac{1}{\ln ^{\prime}\left(\ln ^{-1}(y)\right)} \\ & =\frac{1}{\frac{1}{e^{y}}} \\ & =e^{y}\end{aligned}
2) Propriétés algébriques de la fonction exponentielle :
Soient x, y \in \mathbb{R} et n \in \mathbb{Z}. On a :
a) \exp (x+y)=\exp (x) \exp (y).
b) \exp (-x)=\frac{1}{\exp (x)}.
c) \exp (x-y)=\frac{\exp (x)}{\exp (y)}.
d) \exp (n x)=(\exp (x))^{n}.
Démonstration :
2-a) On a \ln \left(e^{x} e^{y}\right)=\ln \left(e^{x}\right)+\ln \left(e^{y}\right)=x+y.
En composant par exp e^{x} e^{y}=e^{x+y}.
2-b) On a d’après 2-a) e^{x+(-x)}=e^{0}=1.
Donc e^{x} e^{-x}=1.
Ainsi e^{-x}=\frac{1}{e^{x}}.
2-c) D’après 2-a) et 2-b) e^{x-y}=e^{x} e^{-y}=\frac{e^{x}}{e^{y}}.
2-d) Par récurrence
3) Limites usuelles pour \exp :
a) \lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \exp x=+\infty et \lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \exp x=0.
b) \lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\exp x}{x}=+\infty et \lim\limits_{x \rightarrow-\infty} x \exp x=0.
c) \lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \neq 0}} \frac{\exp (x)-1}{x}=1
Démonstration :
3-a) exp est continue et strictement croissante sur ]-\infty,+\infty[ et \exp (]-\infty,+\infty[)=] 0,+\infty[.
Donc \lim\limits _{x \rightarrow-\infty} e^{x}=0 et \lim\limits _{x \rightarrow+\infty} e^{x}=+\infty.
3-b) Pour tout x \in] 0,+\infty[ on a :
\begin{aligned} \ln \left(\frac{e^{x}}{x}\right) & =\ln \left(e^{x}\right)-\ln (x) \\& =x-\ln (x) \\& =x\left(1-\frac{\ln (x)}{x}\right)\end{aligned}
Puisque \lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln (x)}{x}=0 alors \lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \ln \left(\frac{e^{x}}{x}\right)=+\infty.
Et par la suite \lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{x}=+\infty.
\forall x \in]-\infty, 0 [, \quad x e^{x}=-\frac{1}{\frac{e^{-x}}{-x}}.
On a \lim\limits _{x \rightarrow-\infty} \frac{e^{-x}}{-x}=\lim\limits _{t \rightarrow+\infty} \frac{e^{t}}{t}=+\infty.
Ainsi \lim\limits _{x \rightarrow-\infty} x e^{x}=0.
3-c) \lim\limits _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \neq 0}} \frac{e^{x}-1}{x}=\lim\limits _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \neq 0}} \frac{e^{x}-e^{0}}{x-0}=\exp ^{\prime}(0)=\exp (0)=1 .
4) Inégalité de convexité
On a \forall x \in \mathbb{R},\quad \exp x \geq 1+x
Démonstration :
La fonction exp est convexe, sa courbe est alors au-dessus de toutes ses tangentes.
L’équation de la tangente à la courbe de exp en 0 est \left(T_{0}\right): y=x+1.
Ainsi \forall x \in \mathbb{R}, e^{x} \geqslant x+1
6) Représentation graphique de la fonction \exp
III) Fonctions puissances
Soit a \in \mathbb{R}. On appelle fonction puissance d’exposant a la fonction définie sur ]0,+\infty[ par :
\begin{matrix} \varphi_{a} &:& ] 0,+\infty[ & \rightarrow &\mathbb{R} \\ &&x& \rightarrow& x^{a} & =\exp (a \ln x) \end{matrix}
1) Propriétés algébriques des fonctions puissances
Soient x, y \in] 0,+\infty[ et a, b \in \mathbb{R}. On a :
a) x^{a+b}=x^{a} x^{b}.
b) x^{-a}=\frac{1}{x^{a}}.
c) (x y)^{a}=x^{a} y^{a}.
d) \left(x^{a}\right)^{b}=x^{a b}.
e) \ln \left(x^{a}\right)=a \ln x.
Démonstration :
\begin{aligned}x^{a+b} & =e^{(a+b) \ln (x)} \\& =e^{a \ln (x)+b \ln (x)} \\& =e^{a \ln (x)} e^{b \ln (x)} \\& =x^{a} x^{b} \\x^{-a} & =e^{-a \ln (x)} \\& =\frac{1}{e^{a \ln (x)}} \\& =\frac{1}{x^{a}} \\(x y)^{a} & =e^{a \ln (x y)} \\& =e^{a \ln (x)+\ln (y))} \\& =e^{a \ln (x)} e^{a \ln (y)} \\& =x^{a} y^{a} \\ \ln \left(x^{a}\right) & =\ln (\exp (a \ln (x))=a \ln (x) \end{aligned}
2) Propriétés analytiques
La fonction \varphi_{a} est :
a) Continue sur ] 0,+\infty[. ‘
b) Dérivable sur ] 0,+\infty[ et \forall x \in] 0,+\infty[, \varphi_{a}^{\prime}(x)=a x^{a-1}.
c) De classe C^{\infty} sur ] 0,+\infty[.
Démonstration :
La fonction x \rightarrow a \ln (x) est de classe C^{\infty} sur ] 0,+\infty[ et est à valeurs dans \mathbb{R}.
La fonction exp est de classe C^{\infty} sur \mathbb{R}.
Donc par composée la fonction \varphi_{a} est de classe C^{\infty} sur ] 0,+\infty[.
\forall x \in] 0,+\infty\left[, f_{a}(x)=a \ln ^{\prime}(x) \exp ^{\prime}(a \ln (x))=\frac{a}{x} x^{a}=a x^{a-1}\right.
3) Variation de la fonction \varphi_{a}
Démonstration :
1^{e r} cas : Si a=0
\forall x \in] 0,+\infty\left[, \quad \varphi_{a}(x)=1\right.
2^{\text {ème }} cas : si a>0
\forall x \in] 0+\infty\left[, \quad \varphi_{a}^{\prime}(x)=a x^{a-1}=a e^{(a-1) \ln (x)}>0\right.
\varphi_{a} est donc strictement croissante sur ] 0,+\infty[.
\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \varphi_{a}(x)=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} e^{a \ln (x)}=+\infty et \lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} \varphi_{a}(x)=\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} e^{a \ln (x)}=0
3^{\text {ème }} cas : Si a<0
\forall x \in] 0+\infty\left[, \quad \varphi_{a}^{\prime}(x)=a x^{a-1}=a e^{(a-1) \ln (x)}<0\right.
\varphi_{a} est donc strictement décroissante sur ] 0,+\infty[.
\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \varphi_{a}(x)=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} e^{a \ln (x)}=0 et \lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} \varphi_{a}(x)=\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} e^{a \ln (x)}=+\infty.
IV) Croissances comparées des fonctions logarithmes, puissances et exponentielles
Partie 2 : Fonctions trigonométriques et trigonométriques réciproques
I) Les fonction sin et arcsin
1) La restriction de la fonction sinus à \left[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] est une bijection de \left[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] dans [-1,1].
On appelle arcsinus et on note arcsin sa bijection réciproque.
On a donc \forall y \in[-1,1], \sin (\arcsin y)=y et \forall x \in\left[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], \arcsin (\sin x)=x.
Démonstration :
Les fonctions sin et \arcsin sin est dérivable (en particulier continue) sur \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] et on a :
\forall x \in]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\left[, \sin ^{\prime}(x)=\cos (x)>0\right. et \sin ^{\prime}\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0=\sin ^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right).
Donc sin est strictement croissante sur \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right].
Par le théorème de la bijection sin est une bijection de \left[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] dans \sin \left(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\right)=[-1,1].
2) La fonction arcsin est :
a) Strictement croissante sur [-1,1].
b) Continue sur [-1,1].
c) Dérivable sur ]-1,1[ et \forall x \in ]-1,1[, \quad \arcsin ^{\prime} (x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
d) De classe C^{\infty} sur ]-1,1[.
e) Impaire.
Démonstration :
2-a) , 2-b), 2-c) et 2-d) Toujours d’après le théorème de la bijection est continue et strictement croissante \operatorname{sur}[-1,1].
On a sin est de classe \left.C^{\infty} \operatorname{sur}\right]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[ et \forall x \in]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\left[, \sin ^{\prime}(x) \neq 0\right.
Donc arcsin et de classe \left.C^{\infty} \operatorname{sur} \sin (]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[)=\right]-1,1[.
Pour tout x \in]-1,1[, On a :
\begin{aligned}\arcsin ^{\prime}(x) & =\left(\sin ^{-1}\right)^{\prime}(x) \\& =\frac{1}{\left(\sin ^{\prime}\right)(\arcsin (x))} \\& =\frac{1}{\cos (\arcsin (x))}\end{aligned}
On a \operatorname{ cos}^{2}(\arcsin (x))=1-\sin ^{2}(\arcsin (x))=1-x^{2}.
Puisque \arcsin (x) \in]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\left[\right., alors \cos (\arcsin (x))=\sqrt{1-x^{2}}.
Ainsi \forall x \in]-1,1\left[, \arcsin ^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right.
2-e) \forall x \in[-1,1],-x \in[-1,1].
Soit x \in[-1,1].
On a \sin (\arcsin (-x))=-x=-\sin (\arcsin (x)).
Donc sin (\arcsin (-x))=\sin (-\arcsin (x)) En composant par \arcsin on trouve \arcsin (-x)=-\arcsin (x).
On conclut finalement que la fonction arcsin est impaire.
4) Représentation graphique de la fonction \arcsin
II) Les fonctions cos et arccos
1) La restriction de la fonction cosinus à [0, \pi] est une bijection de [0, \pi] dans [-1,1]. On appelle arc cosinus et on note arccos sa bijection réciproque.
On a donc \forall y \in[-1,1], \cos (\arccos y)=y et \forall x \in[0, \pi], \arccos (\cos x)=x.
Démonstration :
La fonction cos est dérivable (en particulier continue) sur [0, \pi] et on a :
\forall x \in] 0, \pi\left[\cos ^{\prime}(x)=-\sin (x)<0\right. et \cos ^{\prime}(0)=\cos ^{\prime}(\pi)=0.
Donc cos est strictement décroissante sur [0, \pi].
Donc par le théorème de la bijection cos réalise une bijection de [0, \pi] vers \cos ([0, \pi])= [-1,1].
2) La fonction arccos est :
a) Strictement décroissante sur [-1,1].
b) Continue sur [-1,1].
c) Dérivable sur ]-1,1[ et \forall x \in]-1,1\left[, \arccos ^{\prime} x=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right..
d) De classe C^{\infty} sur ]-1,1[.
Démonstration :
Toujours par le théorème de la bijection \arccos =\left(\cos _{/[0, \pi]}\right)^{-1} est continue et strictement décroissante sur [-1,1].
cos est de classe C^{\infty} sur ] 0, \pi[ et \forall x \in] 0, \pi\left[\cos ^{\prime}(x) \neq 0\right.
Donc arccos est de classe C^{\infty} sur ] -1,1[.
Soit x \in]-1,1[
\begin{aligned}\arccos ^{\prime}(x) & \left.=(\cos /[0, \pi])^{-1}\right)^{\prime}(x) \\& =\frac{1}{-\sin (\arccos (x))} \\\sin ^{2}(\arccos (x)) & =1-\cos ^{2}(\arccos (x)) \\& =1-x^{2}\end{aligned}
Puisque \arccos (x) \in[0, \pi] alors \sin (\arccos (x)) \geqslant 0.
Ainsi \sin (\arccos (x))=\sqrt{1-x^{2}}.
On conclut finalement que \arccos ^{\prime}(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
3) On a \forall x \in[-1,1], \arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}
Démonstration :
On pose \forall x \in[-1,1], f(x)=\arcsin (x)+\arccos (x).
On a \forall x \in]-1,1\left[, f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=0\right..
f est donc constante sur l’intervalle ] – 1,1[.
Et on \operatorname{a} \forall x \in]-1,1\left[, f(x)=f(0)=\arcsin (0)+\arccors (0)=0+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\right..
De plus f(-1)=\arcsin (-1)+\arccos (-1)=\frac{-\pi}{2}+\pi=\frac{\pi}{2}.
Et f(1)=\arcsin (1)+\arccos (1)=\frac{\pi}{2}+0=\frac{\pi}{2}.
On conclut finalement que \forall x \in[-1,1], f(x)=\arcsin (x)+\arccos (x)=\frac{\pi}{2}.
5) Représentation graphique de la fonction \arccos
3) Les fonctions tan et arctan
1) La restriction de la fonction tangente à ] \frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[ est une bijection de ] \frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[ dans \mathbb{R}.
On appelle arc tangente et on note arctan sa bijection réciproque.
On a donc \forall y \in \mathbb{R}, \tan (\arctan y)=y et \forall x \in] \frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[, \arctan (\tan x)=x.
Démonstration :
La fonction tan est dérivable (en particulier continue) sur ] -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} [ et \forall x \in]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\left[\tan ^{\prime}(x)=1+\tan ^{2}(x)>0\right.
tan est donc strictement croissante sur l’intervalle ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[.
Par le théorème de la bijection on conclut que tan réalise une bijection de ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[ dans \tan (]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[)=\mathbb{R}
2) La fonction arctan est :
a) Strictement croissante sur \mathbb{R}.
b) Continue sur \mathbb{R}.
c) Dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, \arctan ^{\prime} x=\frac{1}{1+x^{2}}.
d) De classe C^{\infty} sur \mathbb{R}.
e) Impaire.
Démonstration :
2-a), 2-b), 2-c) et 2-d) On note \arctan =(\tan /]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[)^{-1} toujours par le théorème de la bijection arctan est continue et strictement croissante sur \mathbb{R}.
\tan est de classe C^{\infty} sur ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[ et \forall x \in]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\left[, \tan ^{\prime}(x) \neq 0\right. donc arctan est de classe C^{\infty} sur \mathbb{R}.
Soit x \in \mathbb{R},
\arctan ^{\prime}(x)=\frac{1}{\tan ^{\prime}(\arctan (x))}=\frac{1}{1+\tan ^{2}(\arctan (x))}=\frac{1}{1+x^{2}}
2-e)
\forall x \in \mathbb{R}, \quad(-x) \in \mathbb{R}.
Soit x \in \mathbb{R},
\begin{aligned}\tan (\arctan (-x)) & =-x \\& =-\tan (\arctan (x)) \\& =\tan (-\arctan (x)) \text { (car tan est impaire) }\end{aligned}
En composant l’égalité \tan (\arctan (-x))=\tan (-\arctan (x)) par arctan on trouve \arctan (-x)=-\arctan (x).
3) On a \forall x \in \mathbb{R}^{*}, \arctan x+\arctan \frac{1}{x}= \begin{cases}\frac{\pi}{2} & \text { si } x>0 \\ -\frac{\pi}{2} & \text { si } x<0\end{cases}
Démonstration :
Pour tout x \in \mathbb{R}^{*}, on pose f(x)=\arctan (x)+\arctan \left(\frac{1}{x}\right).
f est dérivable sur \mathbb{R}^{*} et \forall x \in \mathbb{R}^{*}, f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x^{2}}-\frac{1}{x^{2}} \frac{1}{1+\left(\frac{1}{x}\right)^{2}}=0.
Ainsi f est constante sur l’intervalle ] -\infty, 0 [ ainsi que sur l’intervalle ]0, +\infty[.
Donc \forall x \in]-\infty, 0\left[, f(x)=f(-1)=2 \arctan (-1)=2 \cdot \frac{-\pi}{4}=\frac{-\pi}{2}\right.
Et \forall x \in] 0,+\infty\left[, f(x)=f(1)=2 \arctan (1)=2 \cdot \frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\right.
5) Représentation graphique de la fonction \arctan
Partie 3 : Fonctions hyperboliques
1) Les fonctions sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique
Les fonctions sinus hyperbolique « sh» et cosinus hyperbolique «ch» sont définies sur \mathbb{R} par :
\forall x \in \mathbb{R}, \quad \sh (x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \text{ et } \ch (x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} .
1) Pour tout x \in \mathbb{R} on a :
a) \ch (x)+\sh (x)=e^{x}.
b) \ch (x)-\sh (x)=e^{-x}.
c) \ch ^{2} (x)-\sh ^{2} (x)=1.
1-c) Utiliser le produit de 1-a) par 1-b).
2) Les fonctions \sh et \ch sont de classe C^{\infty} sur \mathbb{R} et pour tout x \in \mathbb{R} on a : \ch ^{\prime} (x)=\sh (x) et \sh ^{\prime} (x)=\ch (x).
Démonstration :
Les fonctions x \rightarrow e^{x} et x \rightarrow e^{-x} sont de classe C^{\infty} sur \mathbb{R} donc par opérations sh et ch sont de classe C^{\infty} sur \mathbb{R}, et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, \operatorname{ch}^{\prime}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\operatorname{sh}(x) et \operatorname{sh}^{\prime}(x)=\frac{e^{x}-\left(-e^{-x}\right)}{2}=\operatorname{ch}(x)
3) La fonction \sh est :
a) impaire.
b) Strictement croissante sur \mathbb{R}.
c) \sh (0)=0.
d) Strictement négative sur ]-\infty, 0[.
e) Strictement positive sur ] 0,+\infty[.
Démonstration :
3-a) On a \forall x \in \mathbb{R},(-x) \in \mathbb{R}.
Soit x \in \mathbb{R}, \operatorname{sh}(-x)=\frac{e^{-x}-e^{-(-x)}}{2}=\frac{e^{-x}-e^{x}}/2=-\operatorname{ch}(x).
Donc la fonction sh est impaire.
3-b) \forall x \in \mathbb{R}, \operatorname{sh}^{\prime}(x)=\operatorname{ch}(x)>0 donc sh et strictement croissante sur \mathbb{R}.
3-c), 3-d) et 3-e) On a \operatorname{sh}(0)=\frac{e^{0}-e^{-0}}{2}=0.
Puisque sh est strictement croissante sur \mathbb{R} alors :
\forall x \in]-\infty, 0[, \operatorname{sh}(x)<\operatorname{sh}(0)=0 et \forall x \in] 0,+\infty[, \operatorname{sh}(x)>\operatorname{sh}(0)=0
4) La fonction \ch est :
a) Paire.
b) Strictement décroissante sur ]-\infty, 0.
c) Strictement croissante sur ]0,+\infty[ .
d) \forall x \in \mathbb{R}, \ch (x) \geq 1 et \ch (0)=1.
Démonstration :
4-a) On a \forall x \in \mathbb{R},(-x) \in \mathbb{R}.
\forall x \in \mathbb{R}, \quad \operatorname{ch}(-x)=\frac{e^{-x}+e^{-(-x)}}{2}=\operatorname{ch}(x).
Donc ch est paire.
4-b), 4-c) et 4-d) \forall x \in]-\infty, 0\left[, h^{\prime}(x)=\operatorname{sh}(x)<0\right. donc ch est strictement décroissante sur l’intervalle ] \infty, 0[.
\forall x \in] 0,+\infty\left[, \operatorname{ch}^{\prime}(x)=\operatorname{sh}(x)>0\right., donc ch est strictement croissante sur l’intervalle ] 0,+\infty[.
Ainsi la fonction ch admet un minimum global en 0.
Autrement dit \forall x \in \mathbb{R}, \operatorname{ch}(x) \geqslant \operatorname{ch}(0)=1.
6) Représentation graphique de la fonction \sh et \ch .
Démonstration :
C_{\text {sh }} La courbe de la fonction sh est symétrique par rapport à l’origine.
L’équation de la tangente à C_{\text {sh }} en 0 est y=\operatorname{sh}^{\prime}(0)(x-0)+\operatorname{sh}(0)=x.
\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \operatorname{sh}(x)=+\infty et \lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{\operatorname{sh}(x)}{x}=+\infty Donc C_{\text {sh }} admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de +\infty.
C_{c h} la courbe de la fonction ch est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. c h^{\prime}(0)=0 donc C_{c h} admet une tangente horizontale en 0.
\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \operatorname{ch}(x)=+\infty et \lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{\operatorname{ch}(x)}{x}=+\infty.
Donc C_{c h} admet une branche parabolique de direction l^{\prime} axe des ordonnées au voisinage de +\infty.
2) La fonction tangente hyperbolique
La fonction tangente hyperbolique, notée \th, est définie sur \mathbb{R} par : \forall x \in \mathbb{R}, \quad \th (x)=\frac{\sh (x) }{\ch (x) } .
1) La fonction \th est de classe C^{\infty} sur \mathbb{R} et avec pour tout x \in \mathbb{R} on a :
\th ^{\prime} (x)=1-\th ^{2} (x)=\frac{1}{\ch ^{2} (x)}.
En particulier, la fonction th est strictement croissante sur \mathbb{R}.
Démonstration :
sh est de classe C^{\infty} sur \mathbb{R}, ch est de classe C^{\infty} et ne s’annule pas sur \mathbb{R}.
Par quotient th est de classe C^{\infty} sur \mathbb{R} et pour tout x \in \mathbb{R} on a :
\begin{aligned}t h^{\prime}(x) & =\frac{\operatorname{sh}^{\prime}(x) \operatorname{ch}(x)-\operatorname{ch}^{\prime}(x) \operatorname{sh}(x)}{\operatorname{ch}^{2}(x)} \\& =\frac{\operatorname{ch}^{2}(x)\operatorname{sh}^{2}(x)}{\operatorname{ch}^{2}(x)}=\frac{1}{\operatorname{ch}^{2}(x)} \\& =1-\operatorname{th}^{2}(x)\end{aligned}
2-a) th(0)=0.
2-b) \forall x in ]-\infty, 0[, \quad th(x) <0 .
2-c) \forall x in ]-\infty, 0[, \quad th(x) >0 .
Démonstration :
2-a) th(0)= \frac{sh(0)}{ch(0)}=0.
2-b) \forall x in ]-\infty, 0[, \quad th(x) <th(0)=0 .
2-c) \forall x in ]-\infty, 0[, \quad th(x) >th(0)=0 .
3) La fonction th est impaire
Démonstration :
\forall x \in \mathbb{R}, \quad(-x) \in \mathbb{R}.
\forall x \in \mathbb{R}, \operatorname{th}(-x)=\frac{\operatorname{sh}(-x)}{\operatorname{ch}(-x)}=-\frac{\operatorname{sh}(x)}{\operatorname{ch}(x)}=-\operatorname{th}(x)
4) Représentation graphique de la fonction \th .
Démonstration :
L’équation de la tangente à C_{\text {th }} en 0 est y=x.
\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \operatorname{th}(x)=1 donc C_{\text {th }} admet la droite d’équation y=1 comme asymptote au voisinage de +\infty.
C_{\text {th }} est symétrique par rapport à l’origine.
