Ce cours sur les espaces préhilbertiens réels est conforme au programme des filières MPSI et MP2I. Il contient des exemples et des exercices d’application qui faciliteront votre assimilation du contenu. N’hésitez pas à consulter notre série d’exercices corrigés pour acquérir une maîtrise solide de cours.
Cours espaces préhilbertiens réels MPSI et MP2I
I) Produit scalaire, espaces préhilbertiens
Définition 1 : Soient E un \mathbb{R}-espace vectoriel et \varphi: E \times E \rightarrow \mathbb{R} une application. i) On dit que l’application \varphi est bilinéaire lorsqu’elle est linéaire par rapport à chacune des deux variables. Autrement dit : \forall x, y, z \in E, \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}, \ \begin{cases} \varphi(\lambda x+\mu y, z)=\lambda \varphi(x, z)+\mu \varphi(y, z) \\ \varphi(z, \lambda x+\mu y)=\lambda \varphi(z, x)+\mu \varphi(z, y) \end{cases} . ii) On dit que \varphi est symétrique lorsque : \forall x, y \in E,\ \varphi(x, y)=\varphi(y, x). iii) On dit que \varphi est positive lorsque : \forall x \in E,\ \varphi(x, x) \geq 0. iv) On dit que \varphi est définie lorsque : \forall x \in E,\ [\varphi(x, x)=0 \Rightarrow x=0].
Remarque 1 : Soient E un \mathbb{R}-espace vectoriel et \varphi: E \times E \rightarrow \mathbb{R} une application symétrique. Pour montrer que \varphi est une forme bilinéaire il suffit de montrer qu’elle est linéaire par rapport à la première variable.
Remarque 2 : Soient E un \mathbb{R}-espace vectoriel et \varphi: E \times E \rightarrow \mathbb{R} une forme bilinéaire. \varphi est définie positive \Leftrightarrow \forall x \in E \setminus \{0\}, \varphi(x, x)>0.
Définition du produit scalaire : Soit \mathrm{E} un \mathbb{R}-espace vectoriel. On appelle produit scalaire sur \mathrm{E} toute forme bilinéaire symétrique définie positive \varphi: E \times E \rightarrow \mathbb{R}.
Notation : On note \varphi(x, y) par \langle x, y\rangle ou (x \mid y) ou tout simplement x \cdot y; et on lit x scalaire y.
Définition 2 (Espace préhilbertien, espace euclidien) : Un \mathbb{R}-espace vectoriel \mathrm{E} muni d’un produit scalaire \langle\cdot,\cdot \rangle est appelé espace préhilbertien réel. On le note (E,\langle\cdot, \cdot\rangle ), ou tout simplement E s’il n’y a pas d’ambiguïté. Un espace préhilbertien réel de dimension finie est appelé espace euclidien.
Exemples d’espaces préhilbertiens :
Exemple 1 : Produit scalaire euclidien canonique sur \mathbb{R}^{n} : Soient x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} et y=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}, on définit le produit scalaire usuel de x et y par :\langle x, y\rangle=\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}. Si on note X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right) et Y=\left(\begin{array}{c}y_{1} \\ \vdots \\ y_{n}\end{array}\right) on remarque que \langle x, y\rangle=\left({ }^{t} X\right) Y. Dans le cas n \in\{2;3\} on retrouve le produit scalaire de la géométrie usuelle.
Exemple 2 : Soient \mathrm{E} un \mathbb{R}-espace vectoriel de dimension n et e=\left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right) une base de E. Soient x=\sum_{i=1}^{n} x_{i} e_{i} \in E et y=\sum_{i=1}^{n} y_{i} e_{i} \in E, on définit un produit scalaire de x et y par : \langle x, y\rangle=\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}.
Définition 3 : Soit (E,\langle\cdot , \cdot \rangle ), un espace préhilbertien réel. L’application \begin{matrix} \| \cdot \| & : & E & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & &x & \rightarrow & \|x \| =\sqrt{\langle x,x \rangle } \end{matrix} . Pour tout x \in E, le réel \|x\| est appelé norme du vecteur x. Pour tout x, y \in E, on note d(x, y)=\|x-y\|. L’application \begin{matrix} d & : & E \times E & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & & (x,y) & \rightarrow & d(x,y) \end{matrix} est appelée distance euclidienne associée au produit scalaire \langle\cdot, \cdot\rangle. Pour tout x, y \in E, le réel d(x, y) est appelé distance entre x et y.
Exemple 6 : Dans le \mathbb{R} -espace vectoriel \mathbb{R}^{3} muni de son produit scalaire canonique \langle\cdot, \cdot\rangle, soient x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) et y=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right). On a : i) \langle x, y\rangle=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+x_{3} y_{3}. ii) \|x\|=\sqrt{\langle x, x\rangle}=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}. iii) d(x, y)=\|x-y\|=\sqrt{\left(x_{1}-y_{1}\right)^{2}+\left(x_{2}-y_{2}\right)^{2}+\left(x_{3}-y_{3}\right)^{2}}.
Proposition 1 : Soient (E,\langle\cdot, \cdot\rangle) un espace préhilbertien réel et \|\cdot\| la norme associée au produit scalaire \langle\cdot, \cdot \rangle . i) \forall x \in E, \quad\|x\| \geq 0 ii) Séparation : \forall x \in E, \quad (\|x\|=0 \Leftrightarrow x=0_{E}) iii) Homogénéité : \forall x \in E, \forall \lambda \in \mathbb{R}, \ \ \|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|
Démonstration : Soient x \in E \ et \ \lambda \in \mathbb{R} . i) \|x\|=\sqrt{\langle x , x \rangle } \geq 0 . ii) \|x\|=0 \Leftrightarrow \sqrt{\langle x , x \rangle } = 0 \|x\|=0 \Leftrightarrow \langle x , x \rangle = 0_{\mathbb{R}} \|x\|=0 \Leftrightarrow x = 0_{\mathbb{E}} iii) \| \lambda x\|=\sqrt{\langle \lambda x , \lambda x \rangle } . Par bilinéarité du produit scalaire \| \lambda x\|=\sqrt{ \lambda^{2} \langle x , x \rangle } . Donc \| \lambda x\|=| \lambda| \sqrt{ \langle x , x \rangle } = | \lambda | \| x \| .
Démonstration : Soient x,y \in E i) \|x+y\|^{2}= \langle x+y,x+y \rangle Par linéarité par rapport à la première variable \|x+y\|^{2}= \langle x,x+y \rangle + \langle y,x+y \rangle Par linéarité par rapport à la deuxième variable \|x+y\|^{2}= \langle x,x \rangle +\langle x,y \rangle + \langle y,x \rangle + \langle y,y \rangle. Par symétrie \|x+y\|^{2}= \langle x,x \rangle +2 \langle x,y \rangle + \langle y,y \rangle. Donc \|x+y\|^{2}= \|x\|^{2}+2\langle x, y\rangle+\|y\|^{2} . ii) Même principe de démonstration que i) iii) Il suffit de sommer les identités i) et ii) iv) Il suffit de faire la différence des identités i) et ii)
Inégalité de Cauchy-Schwarz : Soit (E,\langle\cdot, \cdot \rangle) , un espace préhilbertien réel. \forall x, y \in E,\ \ |\langle x, y\rangle| \leq\|x\|\|y\|. Cas d’égalité dans l’inégalité de Cauchy-Schwarz : De plus, on a l’égalité dans l’inégalité de Cauchy-Schwarz si et seulement si la famille (x, y) est liée.
Exemple 7 : i) On considère \mathbb{R}^{n} muni de son produit scalaire canonique définit dans l’exemple 1. Soient x=(x_1, \cdot , x_n) \ et \ y=(y_1, \cdot , y_n) deux vecteurs de \mathbb{R}^{n} . L’inégalité de Cauchy-Schwarz donne | \langle x,y \rangle | \leq \|x\| \|y\| . Donc | \sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i} | \leq \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}} \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} y_{i}^{2}} ii) Soient a,b \mathbb{R} tels que a<b. On considère C^{0}([a, b], \mathbb{R}) muni de son produit scalaire canonique définit dans l’exemple 3. Soient f,g \in C^{0}([a, b], \mathbb{R}) . L’inégalité de Cauchy-Schwarz donne | \langle f,g \rangle | \leq \|f\| \|g\| . Donc | \int_{a}^{b} f(t)g(t) dt | \leq (\int_{a}^{b} f(t)^{2} dt )^{ \frac{1}{2} }) (\int_{a}^{b} g(t)^{2} dt )^{ \frac{1}{2} }) .
Inégalité triangulaire ou inégalité de Minkowski : \forall x, y \in E,\ \|x+y\| \leq\|x\|+\|y\|. Cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire : De plus on a l’égalité si et seulement si x et y sont positivement liés. Autrement dit : \forall x, y \in E, \ \ ( \|x+y\|=\|x\|+\|y\| \Leftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb{R}^{+}, \ x=\lambda y \ ou \ \exists \lambda' \in \mathbb{R}^{+},\ y=\lambda' x) .
Corollaire 1 : Soient (E,\langle\cdot, \cdot \rangle ), un espace préhilbertien réel et \|\cdot\| la norme euclidienne associée au produit scalaire \langle\cdot, \cdot\rangle. \forall x, y \in E, \ \ |\|x\|-\|y\|| \leq\|x-y\|.
Démonstration : Soient x,y \in E . Par l’inégalité triangulaire on a : \|x\|=\|x-y+y\| \leq \|x-y\|+ \|y\| Donc \|x\|-\|y\|= \leq \|x-y\| De même on montre que \|y\|-\|x\| \leq \|x-y\| Ainsi - \|x-y\| \leq \|x\|-\|y\| \leq \|x-y\| Donc |\|x\|-\|y\|| \leq\|x-y\|.
Proposition 3 : Soient (E,\langle\cdot\rangle) , un espace préhilbertien réel et d la distance euclidienne associée au produit scalaire \langle\cdot, \cdot \rangle . i) \forall x, y \in E, \quad d(x, y) \geq 0. ii) \forall x, y \in E, \quad d(x, y)=0 \Leftrightarrow x=y. iii) \forall x, y \in E, \quad d(x, y)=d(y, x). iv) \forall x, y, z \in E, \quad d(x, z) \leq d(x, y)+d(y, z).
Définition 4 : Soient (E,\langle\cdot, \cdot\rangle ), un espace préhilbertien réel et x, y, x_{1}, \ldots, x_{k} des vecteurs de E. – On dit que les vecteurs \ x et y sont orthogonaux lorsque \langle x, y\rangle=0. On note dans ce cas x \perp y. – On dit que la famille de vecteurs \left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right) est orthogonale lorsque les vecteurs x_{1}, \ldots, x_{k} sont deux à deux orthogonaux. C’est-à-dire \forall i, j \in \llbracket 1, k \rrbracket, i \neq j \Rightarrow\left\langle x_{i}, x_{j}\right\rangle=0. – On dit que le vecteur x est unitaire lorsque \|x\|=1. – On dit que la famille de vecteurs \left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right) est orthonormée (ou orthonormale) lorsqu’elle est orthogonale et les vecteurs x_{1}, \ldots, x_{k} sont unitaires. C’est-à-dire \forall i, j \in \llbracket 1, k \rrbracket,\left\langle x_{i}, x_{j}\right\rangle=\delta_{i, j}. – Soient A et B deux parties de E. On dit que A et B sont orthogonales, et on note A \perp B , lorsque \forall (x,y) \in A \times B, \ \langle x,y \rangle =0 .
Proposition 4 : Soit (E,\langle\cdot, \cdot\rangle) un espace préhilbertien réel. i) \forall x \in E, \ \ x \perp x \Leftrightarrow x=0. ii) Lorsque \mathrm{E} est de dimension finie : Si un vecteur x de \mathrm{E} est orthogonal à tous les vecteurs d’une base \left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right) de \mathrm{E} alors x=0.
Démonstration : i) Soit x \in E . x \perp x \Leftrightarrow \langle x,x \rangle = 0. x \perp x \Leftrightarrow x=0. ii) Soit x un vecteur de \mathrm{E} orthogonal à tous les vecteurs d’une base \left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right) de \mathrm{E}. \exists \lambda_{1} , \dots , \lambda_{n} \in \mathbb{R}, \ \ x=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}e_{i} . \langle x,x \rangle =\langle x,\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}e_{i} \rangle . Par bilinéarité \langle x,x \rangle = \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \langle x,e_{i} \rangle =0. Donc par i) on trouve x=0.
Proposition 5 (Liberté d’une famille orthogonale de vecteurs non nuls) : Soit (E,\langle\cdot, \cdot\rangle) un espace préhilbertien réel. Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls de E est libre. En particulier toute famille orthonormée est libre.
Démonstration : Soit (e_1 \dots , e_k) une famille orthogonale de vecteurs non nuls de E. Soit \lambda_{1} \dots , \lambda_{k} \in \mathbb{R} tels que \sum_{i=1}^{k} \lambda_{i}e_{i} =0 . Soit j \in \llbracket 1,k \rrbracket . 0= \langle e_j,0 \rangle = \langle e_j,\sum_{i=1}^{k} \lambda_{i}e_{i} \rangle = \sum_{i=1}^{k} \lambda_{i} \langle e_j ,e_{i} \rangle = \lambda_{j} \langle e_j ,e_{j} \rangle. Puisque \langle e_j ,e_{j} \rangle \ne 0 alors \lambda_{j} = 0 . Ceci étant pour tout j \in \llbracket 1,k \rrbracket , on conclut que la famille (e_1 \dots , e_k) est libre.
Théorème de Pythagore : Soient (E,\langle\cdot, \cdot\rangle) un espace préhilbertien réel et x, y \in E. Si x \perp y alors \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}.
Démonstration : On suppose que x \perp y. Donc \langle x,y \rangle =0 Donc \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+2 \langle x,y \rangle + \|y\|^{2} =\|x\|^{2}+\|y\|^{2}
Remarque 3 : La réciproque du théorème de Pythagore est vraie : \forall x, y \in E,\quad \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2} \Rightarrow x \perp y.
Généralisation du théorème de Pythagore : Soit (E,\langle \cdot, \cdot\rangle ) un espace préhilbertien réel. Pour tout n \in \mathbb{N}^{*} et pour toute famille \left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) orthogonale de E, on a : \left\|x_{1}+\cdots+x_{n}\right\|^{2}=\left\|x_{1}\right\|^{2}+\cdots+\left\|x_{n}\right\|^{2} :
Justification: On pose x=(1,0,0) , \ y=(0,0,1) \ et \ z=(1,0,-1) . \|x+y+z\|^{2} =\|(2,0,0\|^{2} =4 =\|x\|^{2} +\|y\|^{2} +\|z\|^{2} Mais la famille (x,y,z) n’est pas orthogonale car \langle x,z \rangle =1 \ne 0 .
Théorème d’orthonormalisation de Gram-Schmidt : ‘ Soient (E,\langle\cdot, \cdot \rangle), un espace préhilbertien réel, n \in \mathbb{N}^{*} et \left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) une famille libre de vecteurs de E. Il existe une unique famille orthonormée \left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right) telle que : i) \forall k \in \llbracket 1, n \rrbracket, \ \operatorname{vect}\left(e_{1}, \ldots, e_{k}\right)=\operatorname{vect}\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right). ii) \forall k \in \llbracket 1, n \rrbracket, \ \left\langle e_{k}, x_{k}\right\rangle>0.
Méthode : Algorithme d’orthonormalisation de Gram-Schmidt : Soient (E,\langle\cdot, \cdot \rangle ) un espace préhilbertien réel et \left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) une famille de vecteurs libre dans E. Pour orthonormaliser la famille \left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) on suit l’algorithme de Gram-Schmidt suivant : – On pose e_{1}=\frac{1}{\left\|x_{1}\right\|} x_{1}. – Lorsque les vecteurs e_{1}, \ldots, e_{k} construits : On pose \tilde{e}_{k+1}=x_{k+1}-\sum_{i=1}^{k}\left\langle x_{k+1}, e_{i}\right\rangle e_{i} puis on pose e_{k+1}=\frac{1}{\left\|\tilde{e}_{k+1}\right\|} \tilde{e}_{k+1}. – On recommence jusqu’au calcul de e_{n}.
Exercice d’application 1 : Dans \mathbb{R}^{3} muni de son produit scalaire canonique \langle\cdot, \cdot\rangle, on considère les vecteurs x_{1}=(1,0,1), x_{2}=(1,1,0) et x_{3}=(0,1,1). Orthonormaliser la famille \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right).
Définition 5 (Orthogonal d’une partie) : Soient (E,\langle\cdot, \cdot \rangle) un espace préhilbertien réel et A \subset E. On appelle orthogonal de la partie A et on note A^{\perp} l’ensemble défini par : A^{\perp}=\{x \in E \ / \ \forall a \in A, x \perp a\}.
Proposition 6 : Soit (E,\langle\cdot, \cdot \rangle) un espace préhilbertien réel. L’orthogonal de toute partie de E est un sous-espace vectoriel de E.
Démonstration : Soit A \in \mathcal{P}(E) . – Par définition de l’orthogonal d’une partie on a A^{\perp} \subset E. – Puisque \forall a \in A , \ \langle a,0_{E} \rangle =0 alors 0_{E} \in A^{\perp} . – Soient x,y \in A^{\perp} \ et \ \lambda \in \mathbb{R} . Puisque \forall a \in A , \ \langle a, \lambda x +y \rangle = \lambda \langle a, x \rangle + \ \langle a, y \rangle =0 alors \lambda x +y \in A^{\perp} . On conclut alors que A^{\perp} est un sous espace vectoriel de E.
Proposition 7 : Soit (E,\langle\cdot, \cdot \rangle) un espace préhilbertien réel. i) \left\{\mathrm{O}_{E}\right\}^{\perp}=E ii) E^{\perp}=\left\{0_{E}\right\} iii) \forall A, B \in \mathcal{P}(E), \quad A \subset B \Rightarrow B^{\perp} \subset A^{\perp} iv) \forall A \in \mathcal{P}(E), \ \ A \subset\left(A^{\perp}\right)^{\perp}
Démonstration : Soient E un espace euclidien et (e_1 , \dots , e_n) une base de E. On note (u_1 , \dots , u_n ) la famille obtenue en appliquant le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt sur (e_1 , \dots , e_n) . On a Vect(u_1 , \dots , u_n)= Vect(e_1 , \dots , e_n)=E et la famille (u_1 , \dots , u_n) est libre car orthonormée. Ainsi (u_1 , \dots , u_n) est une base orthonormée de E .
Démonstration : Soit (e_1 , \dots , e_p) une famille orthonormée d’un espace euclidien E, de dimension n. (e_1 , \dots , e_p) est une famille libre, on peut donc la compléter en une base \beta=(e_1, \dots , e_p , u_{p+1} , \dots , u_{n}) de E. Par l’algorithme d’orthonormalisation de Gram-Schmidt, on construit à partir de \beta une famille \beta^{'}=(e_1, \dots , e_p , \varepsilon_{p+1} , \dots , \varepsilon_{n}). Il est claire que \beta^{'} est une base orthonormée de E.
Proposition 9 : Soient (E,\langle\cdot,\cdot \rangle) un espace euclidien et F un sous-espace vectoriel de E, on a : i) F^{\perp} est l’unique supplémentaire orthogonal de F dans E. ii) \operatorname{dim} E=\operatorname{dim} F+\operatorname{dim} F^{\perp}. iii) \left(F^{\perp}\right)^{\perp}=F.
Remarque 4 : Soient (E,\langle\cdot, \cdot\rangle) un espace euclidien, F un sous-espace vectoriel de E et \left(e_{1}, \ldots, e_{p}\right) une base de F. On a : F^{\perp}=\left\{x \in E \ / \ \forall i \in \llbracket 1, p \rrbracket,\left\langle x, e_{i}\right\rangle=\right\}.
Exercice d’application 2 : On considère l’espace vectoriel \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}) muni du produit scalaire canonique \begin{matrix} \langle \cdot,\cdot \rangle & :& \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}) \times \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}) & \rightarrow & \mathbb{R} \\ && (A, B) & \rightarrow & Tr( A^{T} B ) \end{matrix}. On pose F=Vect \left( \begin{pmatrix} 2&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix}1&0 \\-1&2 \end{pmatrix} \right) . a) Déterminer \operatorname{dim} F^{\perp}. b) Déterminer F^{\perp}.
Coordonnées d’un vecteur dans une base orthonormée : Soient (E,\langle\cdot,\cdot\rangle ) un espace euclidien et \left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right) une base orthonormée de E. Alors : \forall x \in E, \ x=\sum_{k=1}^{n}\left\langle x, e_{k}\right\rangle e_{k}.
Expression du produit scalaire et de la norme dans une base orthonormée : Soient (E,\langle\cdot,\cdot \rangle ) un espace euclidien et \left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right) une base orthonormée de E. Soient x=\sum_{k=1}^{n} x_{k} e_{k} \in E et y=\sum_{k=1}^{n} y_{k} e_{k} \in E . Alors : i) \langle x, y\rangle=\sum_{k=1}^{n} x_{k} y_{k}. ii) \|x\|=\left(\sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}.
V) Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie
Définition 6 (Projecteur orthogonal, Projeté orthogonal) : Soient (E,\langle\cdot, \cdot \rangle) un espace préhilbertien réel et F un sous-espace vectoriel de dimension finie de E. On appelle projection orthogonale sur F, la projection sur F parallèlement à F^{\perp}. On la note p_{F}. Soit x \in E, \ p_{F}(x), l’image du vecteur x par la projection orthogonale p_{F}, est appelée projeté orthogonal du vecteur x sur F.
Remarque 5 : i) \forall x \in E, \quad p_{F}(x) \in F et x-p_{F}(x) \in F^{\perp}. ii) \forall x \in E, \forall y \in F, \quad x-y \in F^{\perp} \Leftrightarrow p_{F}(x)=y. iii) Soient \left(e_{1}, \ldots, e_{k}\right) une famille de vecteurs de E et x \in E. On pose F=\operatorname{vect}\left(e_{1}, \ldots, e_{k}\right). On a alors : \forall y \in F, \quad y=p_{F}(x) \Leftrightarrow \forall i \in \llbracket 1, k \rrbracket,\left\langle x-y, e_{i}\right\rangle=0.
Exercice d’application 3 : On considère l’espace vectoriel \mathbb{R}^{3} muni de son produit scalaire canonique \langle\cdot , \cdot \rangle . On pose F=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \ / \ x+y+z=0\right\}. 1) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de \mathbb{R}^{3} puis déterminer une base de F. 2) Déterminer p_{F}.
Proposition 10 : Soient (E,\langle\cdot, \cdot \rangle) un espace préhilbertien réel, F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie et \left(e_{1}, \ldots, e_{p}\right) une base orthonormée de F. \forall x \in E, \quad p_{F}(x)=\sum_{i=1}^{p}\left\langle x, e_{i}\right\rangle e_{i}.
Inégalité de Bessel : Soient (E,\langle\cdot, \cdot \rangle) un espace préhilbertien réel et F un sous-espace vectoriel de dimension finie de E. \forall x \in E, \ \ \left\|p_{F}(x)\right\| \leq\|x\|.
Démonstration : Soit x \in E . \|x\|^{2} = \|x-p_{F}(x)+p_{F}(x)\|^{2} Puisque p_{F}(x) \perp x-p_{F}(x) on peut appliquer le théorème de Pythagore pour obtenir : \|x\|^{2} = \|x-p_{F}(x) \|^{2} + \|p_{F}(x)\|^{2} . Et par la suite \|x\|^{2} \geq \|p_{F}(x)\|^{2} . Donc \|x\| \geq \|p_{F}(x)\| .
Définition 7 (Distance d’un vecteur à une partie) : Soient (E,\langle\cdot, \cdot \rangle) un espace préhilbertien réel, A une partie non vide de E et x \in E. On appelle distance du vecteur x à la partie A et on note d(x, A), la quantité : d(x, A)=\inf\limits_{y \in A}\|x-y\|=\inf\limits_{y \in A} d(x, y).
Remarque 6 : La borne inférieure de l’ensemble \{\|x-y\| ; y \in A\} existe car c’est une partie de \mathbb{R} non vide et minorée (par 0 ).
Proposition 11 : Soient (E,\langle \cdot, \cdot \rangle) un espace préhilbertien réel, F un sous espace vectoriel de dimension finie de E et x \in E. Alors : d(x,F)=\|x-p_{F}(x) \| . De plus, p_{F}(x) est l’unique vecteur y_{0} de F tel que \left\|x-y_{0}\right\|=d(x, F)=\min\limits_{y \in F}\|x-y\|.
Démonstration : Soit y \in F . On a \|x-y\|^{2} =\|x-p_{F}(x)+p_{F}(x)-y \|^{2} Puisque x-p_{F}(x) \perp p_{F}(x)-y alors en appliquant le théorème de Pythagore on trouve : \|x-y\|^{2} =\|x-p_{F}(x) \|^{2}+\| p_{F}(x)-y \|^{2} \ \ (\ast ) . Ainsi \|x-y\| \geq \|x-p_{F}(x) \| et ceci pour tout y \in F . Ce qui signifie que l’ensemble \left\{ \|x-y \| / y \in F \right\} est minoré par \|x-p_{F}(x) \| qui est, en plus, élément de cet ensemble. Ainsi \|x-p_{F}(x) \|=\min\limits_{y\in F} \|x-y \| = \min\limits_{y \in F} d(x,F) . Par ( \ast ) \ \ \forall y \in F \setminus \left\{ p_{F}(x) \right\} , \ \ \|x-y\| > \|x-p_{F}(x) \| . D’où l’unicité du vecteur y_{0} de F vérifiant \left\|x-y_{0}\right\|=d(x, F)=\min\limits_{y \in F}\|x-y\|.
