Les exercices corrigés proposés ci-dessous sont conformes au programme des classes prépa des filières MPSI, MP2I, PCSI et PTSI et nécessitent une maîtrise préalable du cours : ensembles et applications. Une compréhension approfondie de ces notions est cruciale pour les étudiants de ces filières.

I) Exercices corrigés sur les ensembles

Exercice 1 :
Soient A, B et C trois parties d’un ensemble E. Montrer que :
1) A \cup B=A \cap B \Leftrightarrow A=B
2) A \cap B=A \cup C et A \cup B=A \cap C \Rightarrow A=B=C
3) \begin{cases}A \cap B=A \cap C=B \cap C \\ A \cup B=A \cup C=B \cup C \end{cases} \Rightarrow A=B=C
4) A \cap B=A \cap C \Leftrightarrow A \cap C_{E}^{B}=A \cap C_{E}^{C}

Exercice :
Soient A, B et C trois parties d’un ensemble E.
Montrer que : (A \setminus B ) \cup (B \setminus C ) \cup (C \setminus A ) = ( A\cup B \cup C ) \setminus ( A\cap B \cap C )

Exercice 2 :
Soient E et F deux ensembles.
1) Montrer que : E \subset F \Leftrightarrow \mathcal{P}(E) \subset \mathcal{P}(F).
2) Établir que : \mathcal{P}(E \cap F)=\mathcal{P}(E) \cap \mathcal{P}(F)
3) A-t-on : \mathcal{P}(E \cup F)=\mathcal{P}(E) \cup \mathcal{P}(F) ?

Corrigé :

Exercice 3 :
Soient A et B deux parties d’un ensemble E. Résoudre les équations d’inconnue X \in \mathcal{P}(E) :
1) (E_{1}): \quad X \cap A=B.
2) (E_{2}): \quad X \cup A=B.

Corrigé :

Exercice :
Soient E,I, J trois ensembles, et (A_{i,j})_{(i,j)\in{I\times J}} une famille de parties de E.
Comparer \underset{i\in I} { \bigcup } \underset{j \in J} { \bigcap }A_{i,j} et \underset{j \in J} { \bigcap } \underset{i\in I} { \bigcup } A_{i,j}

II) Exercices corrigés sur les applications

Exercice 4 :
Montrer que l’application f: x \rightarrow \frac{2 x}{1+x^{2}} est bijective de ] 0 ; 1[ sur ] 0 ; 1 [ et déterminer sa réciproque.

Corrigé :

Exercice 5 :
Soient \mathrm{E}, \mathrm{F} deux ensembles non vides et f une application de \mathrm{E} dans \mathrm{F}.
Montrer que : \forall B \in \mathcal{P}(F), \quad f^{-1}\left(C_{F}^{B}\right)=C_{E}^{f^{-1}(B)}.

Corrigé :

Exercice 6 :
Soient \mathrm{E}, \mathrm{F} deux ensembles et f: E \rightarrow F une application.
1-a) Montrer que \forall A, B \in \mathcal{P}(E), f(A \cup B)=f(A) \cup f(B).
b) Montrer que \forall A, B \in \mathcal{P}(E), f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B).
c) A-t-on f(A \cap B)=f(A) \cap f(B) pour tout A, B \in \mathcal{P}(E) ?
d) Montrer que f est injective si et seulement si \forall A, B \in \mathcal{P}(E), f(A \cap B)=f(A) \cap f(B).
2-a) Montrer que \forall A, B \in \mathcal{P}(F), f^{-1}(A \cup B)=f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B).
b) Montrer que \forall A, B \in \mathcal{P}(F), f^{-1}(A \cap B)=f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B).

Corrigé :

Exercice 7 :
Soient \mathrm{E} et \mathrm{F} deux ensembles et f: E \rightarrow F une application.
1-a) Montrer que \forall A \in \mathcal{P}(E), A \subset f^{-1}(f(A))
b) Montrer que: f est injective \Leftrightarrow \forall A \in \mathcal{P}(E), A=f^{-1}(f(A)).
2-a) Montrer que \forall B \in \mathcal{P}(F), f\left(f^{-1}(B)\right) \subset B.
b) Montrer que: f est surjective \Leftrightarrow \forall B \in \mathcal{P}(F), B=f\left(f^{-1}(B)\right).

Corrigé :

L’attribut alt de cette image est vide, son nom de fichier est Proprietes-des-images-directes-et-des-images-reciproques-dun-ensembles-par-une-application-627x1024.png.

Exercice :
Soient \mathrm{E}, \mathrm{F} deux ensembles et f: E \rightarrow F une application.
Montrer que : f \text{ est injective } \Leftrightarrow \forall A, B \in \mathcal{P}(E), \quad f(A \cap B)=f(A) \cap f(B).

Exercice :
Soient \mathrm{E}, \mathrm{F} deux ensembles et f: E \rightarrow F une application.
Montrer que: f est injective \Leftrightarrow \forall A \in \mathcal{P}(E), A=f^{-1}(f(A)).

Exercice :
Soient \mathrm{E}, \mathrm{F} deux ensembles et f: E \rightarrow F une application.
Montrer que: f est surjective \Leftrightarrow \forall B \in \mathcal{P}(F), B=f\left(f^{-1}(B)\right).

Exercice 8 :
Soient \mathrm{E} et \mathrm{F} deux ensembles et f: E \rightarrow F une application.
Montrer que f est bijective si et seulement si \forall A \in \mathcal{P}(E), f\left(C_{E}^{A}\right)=C_{F}^{f(A)}

Corrigé :

Exercice 9 :
Soient E un ensemble et f: E \rightarrow E une application telle que f \circ f \circ f=f.
Montrer que f est injective si et seulement si f est surjective.

Corrigé :

Exercice 10 :
Soient \mathrm{E} un ensemble et A, B \in \mathcal{P}(E). On considère l’application f définie par f: \underset {X \rightarrow (X\cap A, X\cap B) } {\mathcal{P}(E) \rightarrow . \mathcal{P}(A) \times \mathcal{P}(B)} .
1) Montrer que f est injective si et seulement si A \cup B=E.
2) Montrer que f est surjective si et seulement si A \cap B= \emptyset.

Corrigé :

L’attribut alt de cette image est vide, son nom de fichier est Application-definie-sur-un-ensemble-de-parties-855x1024.png.

Exercice : Théorème de Cantor
Soit E un ensemble non vide. Montrer qu’il n’existe pas d’application surjective de E vers \mathcal{P}(E).
Indication : Considérer une application f \text{ de E vers } \mathcal{P}(E) surjective et utiliser la partie A=\{x \in E / x \notin f(x) \}

Exercice :
Soient E, I deux ensembles non vides et f : E \rightarrow I une application surjective. On pose \forall i \in I, A_{i} = f^{-1}( \{ i \} )
Montrer que les A_{i} forment une partition de E.

Exercice :
Soit f \text{ une application de } \mathbb{N} \text{ vers } \mathbb{N} . On suppose que f est injective et vérifie : \forall n \in \mathbb{ N}, \quad f(n)≤n .
Montrer que f=id_{\mathbb{N}}

Exercice :
Soit f \text{ une application de } \mathbb{N} \text{ vers } \mathbb{N} . On suppose que f est surjective et vérifie : \forall n \in \mathbb{ N}, \quad f(n)≥n .
Montrer que f=id_{\mathbb{N}}

Exercice :
Soient E et F deux ensembles non vides.
Montrer qu’il existe une application injective de E vers F si et seulement si il existe une application surjective de F vers E.

III) Exercices corrigés sur les relations binaires

Exercice 11 :
On définit sur \mathbb{R} la relation binaire \mathcal{R} par : \forall x, y \in \mathbb{R}, x \mathcal{R} y \Leftrightarrow x^{2}-y^{2}=x-y.
1) Montrer que \mathcal{R} est une relation d’équivalence sur \mathbb{R}.
2) Déterminer la classe d’équivalence d’un élément x \in \mathbb{R}.

Corrigé :

Exercice 12 :
On définit sur \mathbb{R}_{+}^{*} la relation binaire \mathcal{R} par : \forall x, y \in \mathbb{R}_{+}^{*}, x \mathcal{R} y \Leftrightarrow \exists n \in \mathbb{N}, y=x^{n}
1) Montrer que \mathcal{R} est une relation d’ordre sur \mathbb{R}_{+}^{*}.
2) Cet ordre est-il total ?

Corrigé :

Exercice 13 :
Soit \mathcal{R} une relation binaire définie sur \mathbb{Z} par : \forall(n, m) \in \mathbb{Z}^{2}, n \mathcal{R} m \Leftrightarrow n+m est un entier pair.
1) Montrer que \mathcal{R} est une relation d’équivalence sur \mathbb{Z}.
2) Déterminer les classes d’équivalence de cette relation.

Corrigé :

Exercice 14 :
Soit \mathrm{f} une application injective de \mathbb{R} dans \mathbb{R}. On définit sur \mathbb{R} la relation binaire \mathcal{R} par :
\forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, \quad x \mathcal{R} y \Leftrightarrow f(x) \leq f(y)
1) Montrer que \mathcal{R} est une relation d’ordre sur \mathbb{R}.
2) L’ordre est-il total ou partiel ?

Corrigé :

Exercice 15 :
Soit n \in \mathbb{N}^{*} avec n \geq 2. On définit la relation de congruence modulo n dans \mathbb{Z}, notée \equiv[n], par :
\forall a, b \in \mathbb{Z}, a \equiv b[n] \Leftrightarrow \exists \mathrm{k} \in \mathbb{Z}, a=b+k n.
1) Montrer que \equiv[n] est une relation d’équivalence dans \mathbb{Z}.
On note \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} l’ensemble de toutes les classes d’équivalences de la relation \equiv[n].
Autrement dit \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}=\mathbb{Z} / \equiv[n]
2) Montrer que \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}=\{\overline{0} ; \overline{1} ; \ldots ; \overline{n-1}\}.
3) Montrer que \operatorname{card}(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})=n

Corrigé :