Ensembles et applications, cours | MPSI-MP2I

Le cours d’ensembles et applications constitue une brique indispensable dans le cursus d’apprentissage des mathématiques pour les filières MPSI et MP2I. Il joue un rôle fondamental en posant les bases nécessaires à la compréhension et à l’étude des différentes concepts mathématiques qui seront abordées tout au long du parcours en classes préparatoires.

Pour consolider vos connaissances et devenir plus à l’aise avec les concepts abordés dans ce cours, n’hésitez pas à consulter notre série d’exercices corrigées sur les ensembles et les applications.

I) Ensembles

1) Premières notions sur les ensembles

• Un ensemble est une collection d’objets, qui sont appelés les éléments de cet ensemble, considérés sans ordre et sans répétition.
• « x est un élément de l’ensemble E» se lit aussi « x appartient à E» et se note « x \in E ». On dit aussi «E contient x ».
• L’ensemble qui ne contient aucun élément est appelé l’ensemble vide, on le note \emptyset.
• Un ensemble contenant un seul élément x est appelé singleton, on le note \{x\}.
• Soient E et F deux ensembles. L’ensemble E est dit inclus dans l’ensemble F lorsque tout élément de E est aussi élément de F. Autrement dit \forall x \in E, x \in F.
  On dit dans ce cas que E est un sous-ensemble de F ou que E est une partie de F et on note E \subset F.
• Soient E et F deux ensembles. On dit que les ensembles E et F sont égaux et on note E=F lorsque E \subset F et F \subset E.
• L’ensemble de toutes les parties de E est noté \mathcal{P}(E), il contient en particulier \emptyset et E.
• Pour tout ensemble A, on a l’équivalence : A \in \mathcal{P}(E) \Leftrightarrow A \subset E.

Exemple 1 :
On pose E=\{0 ; 1 ; 2\}

• 1 \in E
• \{1\} \subset E
• 1 \in\{1\}
• \{1\} \in \mathcal{P}(E)
• 3 \notin E
• \{3\} \not \subset E
• \{3\} \notin \mathcal{P}(E)
• \mathcal{P}(E)=\{\varnothing ;\{0\} ;\{1\} ;\{2\} ;\{0 ; 1\} ;\{0 ; 2\} ;\{1 ; 2\} ; E\}

Quel est le cardinal de l’ensemble des parties d’un ensemble fini ?
Si \operatorname{card}(E)=n \in \mathbb{N} alors \operatorname{card}(\mathcal{P}(E))=2^{n}

Comment montrer qu’un ensemble est inclus dans un autre ensemble ?
Soient E un ensemble et A,B\in \mathcal{P}(E).
Pour montrer que l’ensemble A est inclus dans l’ensemble B, on fixe un élément x dans A et par des déductions successives on montre que x appartient à B.
Ceci se traduit par l’équivalence A \subset B \Leftrightarrow(\forall x \in E, x \in A \Rightarrow x \in B).

Comment montrer que deux ensembles sont égaux ?
Pour montrer que deux parties A et B d’un ensemble E sont égaux on peut utiliser l’une des méthodes suivantes :

• Première méthode : Par double inclusion.
  On montre que A \subset B et B\subset A
• Deuxième méthode : On montre que \forall x \in E, x \in A \Leftrightarrow x \in B

2) Opérations sur les ensembles

i) La réunion de deux ensembles

Définition la réunion de deux ensembles :
Soient E un ensemble, A et B deux parties de E.
La réunion des ensembles A et B est l’ensemble des éléments appartenant à A ou à B. On la note A \cup B.
Autrement dit A \cup B=\{x \in E / x \in A ou x \in B\}.

Remarque : \forall x \in E, \quad x \in A \cup B \Leftrightarrow x \in A ou x \in B

Exemples de réunions d’ensembles :
i) On pose A=\{a ; b ; c\} et B=\{c ; d ; e\}. Alors A \cup B=\{a ; b ; c ; d ; e\}.
ii) \mathbb{R}^{+} \cup \mathbb{R}^{-}=\mathbb{R}.

ii) Intersection de deux ensembles

Définition de l’intersection de deux ensembles :
Soient E un ensemble, A et B deux parties de E.
L’intersection des ensembles \mathrm{A} et \mathrm{B} est l’ensemble des éléments appartenant à la fois à \mathrm{A} et à \mathrm{B}, on la note A \cap B.
Autrement dit A \cap B=\{x \in E / x \in A et x \in B\}

Remarque : \forall x \in E, \quad x \in A \cap B \Leftrightarrow x \in A et x \in B.

Exemples d’intersection d’ensembles :
On pose A=\{a ; b ; c\} et B=\{c ; d ; e\}. Alors A \cap B=\{c\}.
\mathbb{R}^{+} \cap \mathbb{R}^{-}=\{0\}.

iii) Différence de deux ensembles

Définition de la différence de deux ensembles :
Soient E un ensemble, A et B deux parties de E.
La différence des ensembles A et B est l’ensemble des éléments appartenant à A et pas à B, on la note A \backslash B.
Autrement dit A \backslash B=\{x \in E / x \in A et x \notin B\}.

Remarque : \forall x \in E, \quad x \in A \backslash B \Leftrightarrow x \in A et x \notin B.

Exemples de différence de deux ensembles :
i) On pose A=\{a ; b ; c\} et B=\{c ; d ; e\}. Alors A \backslash B=\{a ; b\}.
ii) \left.\mathbb{R}^{+} \backslash \mathbb{R}^{-}=\right] 0 ;+\infty[.

iv) Complémentaire d’un ensemble

Définition du complémentaire d’un ensemble :
Soient E un ensemble, A et B deux parties de E.
Le complémentaire de A dans E est l’ensemble des éléments de E n’appartenant pas à A, on le note C_{E}^{A} (ou E \backslash A ou \bar{A} ).
Autrement dit C_{E}^{A}=\{x \in E / x \notin A\}.

Remarque : \forall x \in E, \quad x \in C_{E}^{A} \Leftrightarrow x \notin A.

Exemple du complémentaire d’un ensemble :
i) On pose E=\{a ; b ; c ; d ; e\} et A=\{a ; b ; c\}. Alors C_{E}^{A}=\{d ; e\}.
ii) \left.C_{\mathbb{R}}^{\mathbb{R}^{-}}=\right] 0 ;+\infty[.

v) Propriétés des opérations

Soient E un ensemble, A, B et C trois parties de E :

• Commutativité : A \cup B=B \cup A et A \cap B=B \cap A.
• Associativité : A \cup(B \cup C)=(A \cup B) \cup C et A \cap(B \cap C)=(A \cap B) \cap C.
  On peut donc écrire A \cup B \cup C et A \cap B \cap C.
• Distributivité de l’intersection par rapport à la réunion : A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).
• Distributivité de la réunion par rapport à l’intersection : A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C).
• Passage au complémentaire : C_{E}^{\emptyset}=E ; C_{E}^{E}=\emptyset ; \overline{\overline{A}}=A ; A \subset B \Rightarrow C_{E}^{B} \subset C_{E}^{A}.
• Différence : A \backslash B=A \cap \bar{B}.
• Lois de Morgan : \overline{A \cup B}=\bar{A} \cap \bar{B} et \overline{A \cap B}=\bar{A} \cup \bar{B}.
• A \cap \bar{A}=\emptyset ; A \cup \bar{A}=E ; \emptyset \cap A=\emptyset ; \emptyset \cup A=A.
• A \cap B \subset A et A \subset A \cup B.
• Si A \subset B alors A \cup B=B et A \cap B=A.

3) Produit cartésien d’ensembles

Définition du produit cartésien :
Le produit cartésien de deux ensembles \mathrm{E} et \mathrm{F}, est l’ensemble des couples (x, y) avec x \in E et y \in F. On le note E \times F.
Autrement dit E \times F=\{(x, y) / x \in E et y \in F\}.
Dans le cas où E=F, on pourra noter E \times E=E^{2}.
Cette définition se généralise à un produit cartésien d’un nombre fini d’ensembles :
Soit E_{1}, \ldots, E_{n} des ensembles. E_{1} \times E_{2} \times \ldots \times E_{n}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) / \forall i \in \llbracket 1, n \rrbracket , x_{i} \in E_{i}\right\}.

Remarque : (x, y) \in E \times F \Leftrightarrow x \in E et y \in F.

Exemples de produits cartésiens :
i) (0,1,1) \in \mathbb{R}^{3}.
ii) \{a ; b\} \times\{c ; d\}=\{(a, c) ;(a, d) ;(b, c) ;(b, d)\}.
iii) \quad\left(0,-1, \frac{1}{2}, \sqrt{2}, i\right) \in \mathbb{N} \times \mathbb{Z} \times \mathbb{Q} \times \mathbb{R} \times \mathbb{C} mais aussi \left(0,-1, \frac{1}{2}, \sqrt{2}, i\right) \in \mathbb{C}^{5}.

Remarque : En général E \times F \neq F \times E (l’ordre est important dans un produit cartésien). Par exemple on a (0, \sqrt{2}) \in \mathbb{N} \times \mathbb{R} mais (0, \sqrt{2}) \notin \mathbb{R} \times \mathbb{N}.

II) Les applications

1) Premières notion sur les applications

Définitions : Soient E et F deux ensembles non vides.

• Une application (on dit aussi fonction) f de E dans F est une correspondance (liaison) qui à tout élément x de E associe un unique élément y de F, noté f(x).
• On notera f: \underset{x \rightarrow f(x)}{{E} \rightarrow {F}}.
• L’élément x est appelé antécédent de y par f.
• L’élément y est appelé image de x par f.
• On note \mathcal{F}(E, F) ou \left(F^{E}\right) l’ensemble des applications de E dansF[/katex].

Exemples d’applications :

• f: \underset{(x, y) \rightarrow x+y}{\mathbb{R}^{2} {\rightarrow} \mathbb{R}} est une application de \mathbb{R}^{2} dans \mathbb{R}.
• Les fonctions sin, cos, exp sont des applications de \mathbb{R} dans \mathbb{R}.
• Soit E un ensemble. \psi: \underset{(A, B) \rightarrow A \cap B}{\mathcal{P}(E)^{2} \rightarrow \mathcal{P}(E)} est une application de \mathcal{P}(E)^{2} dans \mathcal{P}(E).
• La fonction \ln est une application de ] 0,+\infty[ dans \mathbb{R}.
• Une suite numérique à valeurs réelles est une application de \mathbb{N} dans \mathbb{R}.
• On pose E=\{a ; b ; c\} et F=\{a ; b ; c ; d ; e\}. On pose f(a)=a, f(b)=d, f(c)=e.
  Ainsi définie f est une application de E dans F.

Quand est ce que deux applications sont égales ?
On dit que deux applications f et g sont égales, et on écrit f=g, lorsqu’elles ont le même ensemble de départ et le même ensemble d’arrivée et \forall x \in E, f(x)=g(x).
Voici un exemple de deux applications qui ont la même expression mais elles ne sont pas égales :
On pose f: \underset{x \rightarrow \sin (x)}{[0,2 \pi] \rightarrow\mathbb{R}} et g: \underset{x \rightarrow \sin (x)}{\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}. Même si les deux applications ont la même expression, on a : f \neq g.

Restriction d’une application :
Soient E et F deux ensembles non vides, f une application de \mathrm{E} dans \mathrm{F} et A \in \mathcal{P}(E). On appelle restriction de f à \mathrm{A} l’application de A, notée f_{\mid A} et définie par: \forall x \in A, f_{\mid A}(x)=f(x).

Exemples de restrictions d’une application :
On considère la fonction définie de \mathbb{R} dans \mathbb{R} par f(x)=\left\{\begin{array}{l}1-e^{-x} \text {, si } x \geq 0 \\ x+\ln (-x) \text {, si } x<0\end{array}\right..
i) La restriction de l’application f à l’ensemble [0,+\infty[ est définie par : \forall x\in[0,+\infty[, f_{\mid[0,+\infty[}(x)=1-e^{-x}.
ii) La restriction de l’application f à l’ensemble ]-\infty,0[ est définie par : \forall x\in]-\infty,0[, f_{\mid]-\infty,0[}(x)=x+\ln (-x).
iii) La restriction de l’application f à l’ensemble ]-1,1[ est définie par : \forall x\in]-1,1[, f_{\mid]-1,1[}(x)=\left\{\begin{array}{c}1-e^{-x} \text {, si } x \in[0,1[ \\ x+\ln (-x) \text {, si } x \in]-1,0[\end{array}\right..

Prolongement d’une application :
Soient E, F deux ensembles non vides, f une application de E dansF et B un ensemble tel que E \subset B.
On appelle prolongement de f à B toute application \tilde{f} de B dans F telle que \forall x \in E, \tilde{f}(x)=f(x).

Remarque : un prolongement n’est pas unique en général.

Exemples de prolongements d’une application :
On considère la fonction f: \underset{x \rightarrow \ln (x)}{] 0,+\infty[\rightarrow \mathbb{R}}.
i) On définie \tilde{f} sur \mathbb{R} par : \forall x\in\mathbb{R}, \tilde{f}(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln (x) \text {, si } x \in]0,+\infty[ \\ x+\ln (-x) \text {, si } x \in]-\infty,0]\end{array}\right..
\tilde{f} est un prolongement de f à \mathbb{R}.
ii) On définie \hat{f} sur \mathbb{R} par : \forall x\in\mathbb{R}, \hat{f}(x)=\left\{\begin{array}{c}\ln (x) \text {, si } x \in]0,+\infty[ \\ x+e^{x} \text {, si } x \in]-\infty,0]\end{array}\right..
\hat{f} est un prolongement de f à \mathbb{R}.
iii) On définie \bar{f} sur \mathbb{R^{+}} par : \forall x\in\mathbb{R^{+}}, \bar{f}(x)=\left\{\begin{array}{c}\ln (x) \text {, si } x \in]0,+\infty[ \\ 0 \text {, si } x=0 \end{array}\right..
\bar{f} est un prolongement de f à \mathbb{R^{+}}.

Graphe d’une application :
Soient E, F deux ensembles non vides et f une application de \mathrm{E} dans \mathrm{F}.
On appelle graphe de l’application f le sous-ensemble \mathrm{G} défini par G=\{(x, f(x)) ; x \in E\}.

Exemples de graphes d’applications :
i) On considère l’application f: \llbracket 0,3 \rrbracket \rightarrow \mathbb{R} définie par f(0)=0, f(1)=-1, f(2)=0 et f(3)=5.
Le graphe de f est G=\{(0,0) ;(1,-1) ;(2,0) ;(3,5)\}.
ii) On pose G=\left\{\left(x, x^{2}\right) ; x \in \mathbb{R}\right\}. G est le graphe de l’application f: \underset{x \rightarrow x^{2}}{\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}.

Lien entre graphe et représentation graphique d’une application :
Soit f une fonction définie sur une partie \mathrm{A} de \mathbb{R}. On muni le plan d’un repère cartésien.
Le graphe de f est représenté géométriquement par l’ensemble des points de coordonnées (x, f(x)) lorsque x parcourt l’ensemble A appelé courbe de f (ou représentation graphique de f ).

Famille d’éléments d’un ensemble :
Soient I et E deux ensembles non vides.
On appelle famille d’éléments de E indexée par I toute application de I dans E.

Notation : Une famille d’éléments de E indexée par I est donc un élément de \mathcal{F}(I, E), mais l’utilisation du terme famille sous entend que l’on utilise la notation indexée \left(f_{x}\right)_{x \in I} au lieu de la notation habituelle des applications f: \underset{x \rightarrow f(x)}{I \rightarrow E}

Exemples de familles d’éléments d’un ensemble :
i) Toute suite numérique à valeurs réelles \left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} est une famille d’éléments de \mathbb{R} indexée par \mathbb{N}.
ii) Pour tout a \in \mathbb{R}, on pose f_{a}: \underset{x \rightarrow a x+1}{\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}.
On définit ainsi une famille d’éléments de \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R} ) (c’est une famille d’applications) indexée par \mathbb{R}. On note cette famille \operatorname{par}\left(f_{a}\right)_{a \in \mathbb{R}}.
iii) On pose a_{(0,0)}=-1 ; a_{(0,1)}=1 ; a_{(1,0)}=0 et a_{(1,1)}=2 .\left(a_{(i, j)}\right)_{(i, j) \in\{0 ; 1\}^{2}} est une famille d’éléments de \mathbb{R} indexée par \{0 ; 1\}^{2}.
iv) On pose A_{0}=[0,1] ; A_{1}=[-1,1] ; A_{2}=[0,2]. \left(A_{n}\right)_{n \in\{0 ; 1 ; 2\}} est une famille d’éléments de \mathcal{P}(\mathbb{R}) indexée par \{0 ; 1 ; 2\}.

Opérations sur les familles d’ensembles :
Soit I et E deux ensembles non vides et \left(A_{i}\right)_{i \in I} une famille de parties de E. On définit alors :
\bigcup_{i \in I} A_{i}=\left\{x \in E ; \exists i \in I, x \in A_{i}\right\}
\bigcap_{i \in I} A_{i}=\left\{x \in E ; \forall i \in I, x \in A_{i}\right\}
On a ainsi les deux équivalences suivantes :
\forall x \in E, x \in \bigcup_{i \in I} A_{i} \Leftrightarrow \exists i \in I, x \in A_{i}.
\forall x \in E, x \in \bigcup_{i \in I} A_{i} \Leftrightarrow \exists i \in I, x \in A_{i}.

Fonction indicatrice d’une partie d’un ensemble :
Soit \mathrm{E} un ensemble et A \in \mathcal{P}(E). On appelle fonction indicatrice de A (on dit aussi fonction caractéristique) l’application de E dans \{0 ; 1\} notée 1_{A} et définie par : 1_{A}: E \rightarrow\{0 ; 1\}

Exemples de fonctions indicatrices :
i) 1_{\mathbb{R}^{+}}(0)=1.
ii) 1_{\mathbb{R}^{+}}(-1)=0
iii) 1_{[0,1]^{2}}((1,0))=1
iv) 1_{[0,1]^{2}}((1,2))=0
v) 1_{\mathbb{Q}}(\sqrt{2})=0
vi) 1_{\mathbb{R}}(i)=0
vii) 1_{\mathbb{C}}(i)=1

Propriétés de la fonction indicatrice d’une partie d’un ensemble :

Partition d’un ensemble :
Soit \left(X_{i}\right)_{i \in I} une famille de parties d’un ensemble E. On dit que \left(X_{i}\right)_{i \in I} est une partition de E lorsque les trois conditions suivantes sont vérifiées :
i) \forall i \in I, X_{i} \neq \emptyset
ii) \forall(i, j) \in I^{2}, i \neq j \Rightarrow X_{i} \cap X_{j}=\emptyset
iii) \cup_{i \in I} X_{i}=E

Exemples d’une partition d’un ensemble :
On pose X_{1}=\llbracket 0,3 \rrbracket, X_{2}=\llbracket 4,7 \rrbracket, X_{1}=\llbracket 8,10 \rrbracket. La famille \left(X_{i}\right)_{i \in\{1 ; 2 ; 3\}} est une partition de \llbracket 0,10 \rrbracket.

2) Image directe, image réciproque

i) Image directe d’un ensemble par une application

Soient \mathrm{E} et \mathrm{F} deux ensembles non vides, A \in \mathcal{P}(E) et f une application de E dans \mathrm{F}.
On appelle image directe de A par f, et on note f(A), la partie de \mathrm{F} définie par: f(A)=\{y \in F ; \exists x \in A, y=f(x)\}
On écrit pour simplifier f(A)=\{f(x) \mid x \in A\}

Remarque : Soient \mathrm{E} et \mathrm{F} deux ensembles non vides, A,B \in \mathcal{P}(E) et f une application de \mathcal{P}(E) dans \mathrm{F}. On a :
i) f(A) \subset F.
ii) \forall y \in F, y \in f(A) \Leftrightarrow \exists x \in A, y=f(x).
iii) f(\varnothing)=\varnothing.
iv) \forall x \in E, x \in A \Rightarrow f(x) \in f(A).
v) A \subset B \Rightarrow f(A) \subset f(B).

ii) Image réciproque d’un ensemble par une application

Soient \mathrm{E} et \mathrm{F} deux ensembles non vides, B \in \mathcal{P}(F) et f une application de \mathrm{E} dans \mathrm{F}.
On appelle image réciproque de B par f, et on note f^{-1}(B), la partie de E définie par : f^{-1}(B)=\{x \in E \mid f(x) \in B\}.

Remarque : Soient \mathrm{E} et \mathrm{F} deux ensembles non vides, A,B \in \mathcal{P}(F) et f une application de \mathrm{E} dans \mathrm{F}.
i) f^{-1}(B) \subset E.
ii) \quad \forall x \in E, x \in f^{-1}(B) \Leftrightarrow f(x) \in B.
iii) \quad f^{-1}(\emptyset)=\emptyset.
iv) f^{-1}(F)=E.
v) A \subset B \Rightarrow f^{-1}(A) \subset f^{-1}(B).

3) Composition d’application

Soient E,F,G trois ensembles non vides, f \in \mathcal{F}(E, F) et g \in \mathcal{F}(F, G).
On appelle composée de f et g, et on note g \circ f, l’application de E dans \mathrm{G} définie par : \forall x \in E, g \circ f(x)=g(f(x)).

Exemple :
On considère les applications f: \underset{x \rightarrow x^{2}}{\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}} et g: \underset{x \rightarrow x+1}{\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}. Pour tout x \in \mathbb{R} on a :
g \circ f(x)=g(f(x))=g\left(x^{2}\right)=x^{2}+1
f \circ g(x)=f(g(x))=f(x+1)=(x+1)^{2}=x^{2}+2 x+1
Donc g \circ f: \underset{x \rightarrow x^{2}+1}{\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}} et f \circ g: \underset{x \rightarrow x^{2}+2 x+1}{\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}} .

On remarque alors que la composition d’application n’est pas commutative (f \circ g \neq g \circ f en général).

Associativité de la composition :
Soient E, F, G, H quatre ensembles non vides f \in \mathcal{F}(E, F), g \in \mathcal{F}(F, G) et h \in \mathcal{F}(G, H). On a h \circ(g \circ f)=(h \circ g) \circ f.

4) Injectivité, surjectivité, bijectivité

i) Application injective

Soient E, F deux ensembles non vides et f \in \mathcal{F}(E, F).
On dit que f est injective (ou que c’est une injection) lorsqu’elle vérifie l’une des trois propositions équivalentes suivantes :
i) Tout élément de \mathrm{F} a au plus un antécédent par f. Autrement dit, pour tout y \in F, l’équation f(x)=y admet au plus une solution dans \mathrm{E}.
ii) \forall x, y \in E, f(x)=f(y) \Rightarrow x=y
iii) \forall x, y \in E, x \neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y).

Exemples d’applications injectives et d’applications non injectives :
i) La fonction sinus n’est pas injective car \sin (0)=\sin (2 \pi).
ii) La fonction f: \underset{(x,y) \rightarrow (x+y,x-y)}{\mathbb{R^{2}}\rightarrow \mathbb{R^{2}}} est injective.
En effet, soit (x, y),(z, w) \in \mathbb{R}^{2}, tels que f(x, y)=f(z, w).
Donc (x+y, x-y)=(z+w, z-w).
Par la suite \left\{\begin{array}{l}x+y=z+w \\ x-y=z-w\end{array}\right. d’où \left\{\begin{array}{c}x+y=z+w \\ -2 y=-2 w\end{array}\right. donc \left\{\begin{array}{l}x=z \\ y=w\end{array}\right. donc (x, y)=(z, w).
Ainsi f est injective.

ii) Application surjective

Soient \mathrm{E}, \mathrm{F} deux ensembles non vides et f \in \mathcal{F}(E, F). On dit que f est surjective (ou que f est une surjection) lorsque l’une des propositions équivalentes suivantes est vérifiée :
i) Tout élément de \mathrm{F} a au moins un antécédent par f. Autrement dit, \forall y \in F, \exists x \in E, y=f(x).
ii) f(E)=F.

Exemples d’applications surjectives et d’applications non surjectives :
i) La fonction f: \underset{x \rightarrow e^{x}}{\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}} n’est pas surjective, car 0 n’admet pas d’antécédent par f.
ii) On note : f_{1}: \underset{x \rightarrow e^{x}}{\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}} et f_{2}: \underset{x \rightarrow e^{x}}{\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}.
-1 n’admet pas d’antécédent par f_{1}, donc f_{1} n’est pas surjective.
Étudions la surjectivité de f_{2} :
Méthode 1 :
\forall y \in \mathbb{R}^{+}, f_{2}(\sqrt{y})=y. Donc \forall y \in \mathbb{R}^{+}, \exists x \in \mathbb{R}, f_{2}(x)=y. D’où f_{2} est surjective.
Méthode 2 :
f_{2}(\mathbb{R})=f_{2}\left(\mathbb{R}^{-} \cup \mathbb{R}^{+}\right)=f_{2}\left(\mathbb{R}^{-}\right) \cup f_{2}\left(\mathbb{R}^{+}\right)=[0,+\infty[\cup[0,+\infty[=[0,+\infty[
Donc f_{2} est surjective.

Comment prouver qu’une application est surjective ? Comment prouver qu’une application est non surjective ?
Dans la plupart des cas, pour prouver la surjectivité, on résout l’équation y=f(x). Et pour prouver la non surjectivité on cherche un élément qui n’a pas d’antécédent par f.

iii) Application bijective

C’est quoi une bijection ?
Soient \mathrm{E}, \mathrm{F} deux ensembles non vides et f \in \mathcal{F}(E, F).
On dit que f est bijective (ou que c’est une bijection) lorsqu’elle vérifie l’une des propositions équivalentes suivantes :
i) f est injective et surjective.
ii) Tout élément de \mathrm{F} a un et un seul antécédent par f. C’est-à-dire \forall y \in F, \exists ! x \in E, y=f(x).

Exemple : id_{E}: \underset{x \rightarrow x}{E \rightarrow E} est bijective.

Bijection réciproque :
Soient E, F deux ensembles non vides et f \in \mathcal{F}(E, F) une application bijective.
L’application de \mathrm{F} dans \mathrm{E} qui à tout y \in F associe l’unique x \in E tel que y=f(x) s’appelle l’application réciproque de f et se note f^{-1}.

Remarque : Soient E, F deux ensembles non vides et f \in \mathcal{F}(E, F) une application bijective. On a dans ce cas : f \circ f^{-1}=i d_{F} et f^{-1} \circ f=i d_{E}.

Remarque :
Soit E, F deux ensembles non vides, B \in \mathcal{P}(F) et f \in \mathcal{F}(E, F) une application bijective.
On peut voir f^{-1}(B) de deux façons :
i) L’image réciproque de B par f
ii) L’image direct de B par f^{-1}

III) Les relations binaires

1) Généralités sur les relations binaires

C’est quoi une relation binaire ?
Soit \mathrm{E} un ensemble non vide. On appelle relation binaire dans E toute partie \mathcal{R} de E \times E (C’est-à-dire \mathcal{R} \in \mathcal{P}(E \times E)).

Notation d’une relation binaire :
(x, y) \in \mathcal{R} est noté x \mathcal{R} y.

Exemples de relations binaires :
i) On pose : E=\llbracket 1,5 \rrbracket et \mathcal{R}=\{(1,5) ;(4,2) ;(1,3) ;(1,1)\}
\mathcal{R} est une relation binaire sur E.
On a : 1 \mathcal{R} 5,4 \mathcal{R} 2,1 \mathcal{R} 3,1 \mathcal{R} 1
Mais on n’a pas 3 \mathcal{R} 4 car (3,4) \notin \mathcal{R}.
ii) La divisibilité dans \mathbb{Z} est définie par : \forall(a, b) \in \mathbb{Z}^{2}, a \mid b \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{Z}, b=k a.
La divisibilité est une relation binaire sur \mathbb{Z}.
iii) «=» ; « \leq » ; «< » ; « \geq » ; «>» sont des relations binaires sur \mathbb{R}.
iv) Soit \mathrm{E} un ensemble non vide, « \subset» est une relation binaire \operatorname{sur} \mathcal{P}(E).

Relation réflexive, relation symétrique, relation transitive, relation antisymétrique :
Soit \mathrm{E} un ensemble non vide et \mathcal{R} une relation binaire sur \mathrm{E}.
i) \mathcal{R} est dite réflexive lorsque : \forall x \in E, x \mathcal{R} x.
ii) \mathcal{R} est dite symétrique lorsque : \forall x, y \in E, x \mathcal{R} y \Rightarrow y \mathcal{R} x
iii) \mathcal{R} est dite transitive lorsque : \forall x, y, z \in E, x \mathcal{R} y et y \mathcal{R} z \Rightarrow x \mathcal{R} z
iv) \mathcal{R} est dite antisymétrique lorsque : \forall x, y \in E, x \mathcal{R} y et y \mathcal{R} x \Rightarrow x=y

Exemples de relations réflexives, symétriques, transitives, antisymétriques :
i) On pose : E=\llbracket 1,3 \rrbracket et \mathcal{R}=\{(1,1) ;(2,2) ;(3,3) ;(1,2) ;(2,3)\}
\mathcal{R} est réflexive, antisymétrique, non symétrique et non transitive.
ii) La relation binaire « \leq » sur \mathbb{R} est réflexive, non symétrique, transitive et antisymétrique.
iii) La relation binaire « <» \operatorname{sur} \mathbb{R} est transitive. non réflexive non symétrique et non antisymétrique.
iv) Soit \mathrm{E} un ensemble non vide. La relation binaire « \subset » sur \mathcal{P}(E) est réflexive, non symétrique, transitive et antisymétrique.

2) Relation d’équivalence

On appelle relation d’équivalence sur un ensemble toute relation binaire réflexive, symétrique et transitive.

C’est quoi la classe d’équivalence ?
Soit \mathrm{E} un ensemble non vide, \mathcal{R} une relation d’équivalence sur \mathrm{E} et x \in E.
i) On appelle classe d’équivalence de x pour la relation \mathcal{R} et on note c l(x ) (ou aussi \bar{x} ) le sous-ensemble de \mathrm{E} défini par c l(x)=\{y \in E \mid y \mathcal{R} x\}.
ii) L’ensemble formé par toutes les classes d’équivalence pour la relation \mathcal{R} est noté \mathrm{E} / \mathcal{R}.
On a \mathrm{E} / \mathcal{R}=\{\operatorname{cl}(x) \mid x \in E\}

Remarque sur la classe d’équivalence d’un élément :
\forall x \in E, x \in \operatorname{cl}(x)

Exemples :
i) On pose : E=\llbracket 1,3 \rrbracket et \mathcal{R}=\{(1,1) ;(2,2) ;(3,3)\}. \mathcal{R} est une relation d’équivalence sur E.
\operatorname{cl}(1)=\{1\}, c l(2)=\{2\}, \operatorname{cl}(3)=\{3\} \text { et } \mathrm{E} / \mathcal{R}=\{\{1\} ;\{2\} ;\{3\}\} \text {. }
ii) On pose : E=\llbracket 1,3 \rrbracket et \mathcal{R}=\{(1,1) ;(2,2) ;(3,3) ;(1,2) ;(2,1)\}.
\mathcal{R} est une relation d’équivalence sur E.
\operatorname{cl}(1)=\{1 ; 2\}=\operatorname{cl}(2) et \operatorname{cl}(3)=\{3\} et \mathrm{E} / \mathcal{R}=\{\{1 ; 2\} ;\{3\}\} .

L’ensemble \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} :
On note \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} l’ensemble de toutes les classes d’équivalence de la relation d’équivalence \equiv[n], sur l’ensemble \mathbb{Z}.
Autrement dit : \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}=\mathbb{Z} / \equiv[n].

Proposition :
Soit \mathrm{E} un ensemble non vide et \mathcal{R} une relation d’équivalence dans E. On a: \forall x, y \in E, x \mathcal{R} y \Leftrightarrow \operatorname{cl}(x)=\operatorname{cl}(y)

Les classes d’équivalence forment une partition
Soit \mathrm{E} un ensemble non vide et \mathcal{R} une relation d’équivalence sur \mathrm{E}.
L’ensemble des classes d’équivalence (E / \mathcal{R}) réalise une partition de E.

3) Relations d’ordre

C’est quoi une relation d’ordre ?
Soit \mathrm{E} un ensemble non vide et \mathcal{R} une relation binaire dans E.
i) On dit que \mathcal{R} est une relation d’ordre dans E lorsque \mathcal{R} est réflexive, antisymétrique et transitive. Dans ce cas (E, \mathcal{R}) est dit ensemble ordonné.
ii) On dit que \mathcal{R} est une relation d’ordre total lorsque \mathcal{R} est une relation d’ordre qui vérifie : \forall x, y \in E, x \mathcal{R} y ou y \mathcal{R} x
iii) Une relation d’ordre non total est dite relation d’ordre partiel.

Exemples de relations d’ordre :
i) «\leq» est une relation d’ordre total dans \mathbb{R}.
ii) Soit \mathrm{E} un ensemble non vide. « \subset » est une relation d’ordre partiel dans \mathbb{R}.
iii) La relation divise « \mid » est une relation d’ordre partiel dans \mathbb{N}.
iv) La relation binaire divise « \mid » n’est pas une relation d’ordre dans \mathbb{Z}.

Majorant, minorant d’un ensemble ordonné
Soit (E, \mathcal{R}) un ensemble ordonné et A \in \mathcal{P}(E).
i) On dit que A est majorée lorsque : \exists M \in E, \forall a \in A, a \mathcal{R} M. Dans ce cas on dit que M est un majorant de A.
ii) On dit que A est minorée lorsque : \exists m \in E, \forall a \in A, m \mathcal{R} a. Dans ce cas on dit que m est un minorant de A.
iii) A est dite bornée lorsqu’elle est majorée et minorée.

Exemples de majorants et de minorants
\operatorname{Dans}(\mathbb{R}, \leq), on pose A=\left\{1+\frac{(-1)^{n}}{n+1} / n \in \mathbb{N}\right\}
On a : \forall n \in \mathbb{N},\left|1+\frac{(-1)^{n}}{n+1}\right| \leq 2
D’où \forall x \in A,-2 \leq x \leq 2
A est donc bornée, 2 est un majorant de \mathrm{A} et -2 est un minorant de \mathrm{A}.

Plus grand élément, plus petit élément :

Remarque :
i) \max (A)=\alpha \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\alpha \text { majorant de } A \\ \alpha \in A\end{array}\right.
ii) \min (A)=\alpha \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\alpha \text { minorant de } A \\ \alpha \in A\end{array}\right.

Exemples :
i) Soit a, b \in \mathbb{R} tel que a \leq b.
On a : \min ([a, b])=a et \max ([a, b])=b
L’ensemble ] a, b[ n’admet ni plus petit élément, ni un plus grand élément.
ii) 2, 3,15 sont des majorants de l’ensemble [0, -2[.
iii) -2,-3,0 sont des minorants de l’ensemble ]0,2].
iv) Soit E un ensemble non vide et non réduit à un élément, A \in \mathcal{P}(E) \backslash\{\emptyset, E\} et H=\{\varnothing ; A ; \bar{A}\}.
Dans (\mathcal{P}(E), \subset) on a :
E est un majorant de \mathrm{H} et \emptyset est un minorant de \mathrm{H}
\mathrm{H} n’admet pas un plus grand élément car A \not \subset \bar{A} et \bar{A} \not \subset A
\min (H)=\emptyset