Le cours d’ensembles et applications constitue une brique indispensable dans le cursus d’apprentissage des mathématiques pour les filières MPSI et MP2I. Il joue un rôle fondamental en posant les bases nécessaires à la compréhension et à l’étude des différentes concepts mathématiques qui seront abordées tout au long du parcours en classes préparatoires.
Pour consolider vos connaissances et devenir plus à l’aise avec les concepts abordés dans ce cours, n’hésitez pas à consulter notre série d’exercices corrigées sur les ensembles et les applications.
I) Ensembles
1) Premières notions sur les ensembles
- Un ensemble est une collection d’objets, qui sont appelés les éléments de cet ensemble, considérés sans ordre et sans répétition.
- « x est un élément de l’ensemble E» se lit aussi « x appartient à E» et se note « x \in E ». On dit aussi «E contient x ».
- L’ensemble qui ne contient aucun élément est appelé l’ensemble vide, on le note \emptyset.
- Un ensemble contenant un seul élément x est appelé singleton, on le note \{x\}.
- Soient E et F deux ensembles. L’ensemble E est dit inclus dans l’ensemble F lorsque tout élément de E est aussi élément de F. Autrement dit \forall x \in E, x \in F.
On dit dans ce cas que E est un sous-ensemble de F ou que E est une partie de F et on note E \subset F. - Soient E et F deux ensembles. On dit que les ensembles E et F sont égaux et on note E=F lorsque E \subset F et F \subset E.
- L’ensemble de toutes les parties de E est noté \mathcal{P}(E), il contient en particulier \emptyset et E.
- Pour tout ensemble A, on a l’équivalence : A \in \mathcal{P}(E) \Leftrightarrow A \subset E.
Exemple 1 :
On pose E=\{0 ; 1 ; 2\}
- 1 \in E
- \{1\} \subset E
- 1 \in\{1\}
- \{1\} \in \mathcal{P}(E)
- 3 \notin E
- \{3\} \not \subset E
- \{3\} \notin \mathcal{P}(E)
- \mathcal{P}(E)=\{\varnothing ;\{0\} ;\{1\} ;\{2\} ;\{0 ; 1\} ;\{0 ; 2\} ;\{1 ; 2\} ; E\}
Quel est le cardinal de l’ensemble des parties d’un ensemble fini ?
Si \operatorname{card}(E)=n \in \mathbb{N} alors \operatorname{card}(\mathcal{P}(E))=2^{n}
Comment montrer qu’un ensemble est inclus dans un autre ensemble ?
Soient E un ensemble et A,B\in \mathcal{P}(E).
Pour montrer que l’ensemble A est inclus dans l’ensemble B, on fixe un élément x dans A et par des déductions successives on montre que x appartient à B.
Ceci se traduit par l’équivalence A \subset B \Leftrightarrow(\forall x \in E, x \in A \Rightarrow x \in B).
Comment montrer que deux ensembles sont égaux ?
Pour montrer que deux parties A et B d’un ensemble E sont égaux on peut utiliser l’une des méthodes suivantes :
- Première méthode : Par double inclusion.
On montre que A \subset B et B\subset A - Deuxième méthode : On montre que \forall x \in E, x \in A \Leftrightarrow x \in B
2) Opérations sur les ensembles
i) La réunion de deux ensembles
Définition la réunion de deux ensembles :
Soient E un ensemble, A et B deux parties de E.
La réunion des ensembles A et B est l’ensemble des éléments appartenant à A ou à B. On la note A \cup B.
Autrement dit A \cup B=\{x \in E / x \in A ou x \in B\}.
Remarque : \forall x \in E, \quad x \in A \cup B \Leftrightarrow x \in A ou x \in B
Exemples de réunions d’ensembles :
i) On pose A=\{a ; b ; c\} et B=\{c ; d ; e\}. Alors A \cup B=\{a ; b ; c ; d ; e\}.
ii) \mathbb{R}^{+} \cup \mathbb{R}^{-}=\mathbb{R}.
ii) Intersection de deux ensembles
Définition de l’intersection de deux ensembles :
Soient E un ensemble, A et B deux parties de E.
L’intersection des ensembles \mathrm{A} et \mathrm{B} est l’ensemble des éléments appartenant à la fois à \mathrm{A} et à \mathrm{B}, on la note A \cap B.
Autrement dit A \cap B=\{x \in E / x \in A et x \in B\}
Remarque : \forall x \in E, \quad x \in A \cap B \Leftrightarrow x \in A et x \in B.
Exemples d’intersection d’ensembles :
On pose A=\{a ; b ; c\} et B=\{c ; d ; e\}. Alors A \cap B=\{c\}.
\mathbb{R}^{+} \cap \mathbb{R}^{-}=\{0\}.
iii) Différence de deux ensembles
Définition de la différence de deux ensembles :
Soient E un ensemble, A et B deux parties de E.
La différence des ensembles A et B est l’ensemble des éléments appartenant à A et pas à B, on la note A \backslash B.
Autrement dit A \backslash B=\{x \in E / x \in A et x \notin B\}.
Remarque : \forall x \in E, \quad x \in A \backslash B \Leftrightarrow x \in A et x \notin B.
Exemples de différence de deux ensembles :
i) On pose A=\{a ; b ; c\} et B=\{c ; d ; e\}. Alors A \backslash B=\{a ; b\}.
ii) \left.\mathbb{R}^{+} \backslash \mathbb{R}^{-}=\right] 0 ;+\infty[.
iv) Complémentaire d’un ensemble
Définition du complémentaire d’un ensemble :
Soient E un ensemble, A et B deux parties de E.
Le complémentaire de A dans E est l’ensemble des éléments de E n’appartenant pas à A, on le note C_{E}^{A} (ou E \backslash A ou \bar{A} ).
Autrement dit C_{E}^{A}=\{x \in E / x \notin A\}.
Remarque : \forall x \in E, \quad x \in C_{E}^{A} \Leftrightarrow x \notin A.
Exemple du complémentaire d’un ensemble :
i) On pose E=\{a ; b ; c ; d ; e\} et A=\{a ; b ; c\}. Alors C_{E}^{A}=\{d ; e\}.
ii) \left.C_{\mathbb{R}}^{\mathbb{R}^{-}}=\right] 0 ;+\infty[.
v) Propriétés des opérations
Soient E un ensemble, A, B et C trois parties de E :
- Commutativité : A \cup B=B \cup A et A \cap B=B \cap A.
- Associativité : A \cup(B \cup C)=(A \cup B) \cup C et A \cap(B \cap C)=(A \cap B) \cap C.
On peut donc écrire A \cup B \cup C et A \cap B \cap C. - Distributivité de l’intersection par rapport à la réunion : A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).
- Distributivité de la réunion par rapport à l’intersection : A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C).
- Passage au complémentaire : C_{E}^{\emptyset}=E ; C_{E}^{E}=\emptyset ; \overline{\overline{A}}=A ; A \subset B \Rightarrow C_{E}^{B} \subset C_{E}^{A}.
- Différence : A \backslash B=A \cap \bar{B}.
- Lois de Morgan : \overline{A \cup B}=\bar{A} \cap \bar{B} et \overline{A \cap B}=\bar{A} \cup \bar{B}.
- A \cap \bar{A}=\emptyset ; A \cup \bar{A}=E ; \emptyset \cap A=\emptyset ; \emptyset \cup A=A.
- A \cap B \subset A et A \subset A \cup B.
- Si A \subset B alors A \cup B=B et A \cap B=A.
3) Produit cartésien d’ensembles
Définition du produit cartésien :
Le produit cartésien de deux ensembles \mathrm{E} et \mathrm{F}, est l’ensemble des couples (x, y) avec x \in E et y \in F. On le note E \times F.
Autrement dit E \times F=\{(x, y) / x \in E et y \in F\}.
Dans le cas où E=F, on pourra noter E \times E=E^{2}.
Cette définition se généralise à un produit cartésien d’un nombre fini d’ensembles :
Soit E_{1}, \ldots, E_{n} des ensembles. E_{1} \times E_{2} \times \ldots \times E_{n}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) / \forall i \in \llbracket 1, n \rrbracket , x_{i} \in E_{i}\right\}.
Remarque : (x, y) \in E \times F \Leftrightarrow x \in E et y \in F.
Exemples de produits cartésiens :
i) (0,1,1) \in \mathbb{R}^{3}.
ii) \{a ; b\} \times\{c ; d\}=\{(a, c) ;(a, d) ;(b, c) ;(b, d)\}.
iii) \quad\left(0,-1, \frac{1}{2}, \sqrt{2}, i\right) \in \mathbb{N} \times \mathbb{Z} \times \mathbb{Q} \times \mathbb{R} \times \mathbb{C} mais aussi \left(0,-1, \frac{1}{2}, \sqrt{2}, i\right) \in \mathbb{C}^{5}.
Remarque : En général E \times F \neq F \times E (l’ordre est important dans un produit cartésien). Par exemple on a (0, \sqrt{2}) \in \mathbb{N} \times \mathbb{R} mais (0, \sqrt{2}) \notin \mathbb{R} \times \mathbb{N}.
II) Les applications
1) Premières notion sur les applications
Définitions : Soient E et F deux ensembles non vides.
- Une application (on dit aussi fonction) f de E dans F est une correspondance (liaison) qui à tout élément x de E associe un unique élément y de F, noté f(x).
- On notera f: \underset{x \rightarrow f(x)}{{E} \rightarrow {F}}.
- L’élément x est appelé antécédent de y par f.
- L’élément y est appelé image de x par f.
- On note \mathcal{F}(E, F) ou \left(F^{E}\right) l’ensemble des applications de E dansF[/katex].
Exemples d’applications :
- f: \underset{(x, y) \rightarrow x+y}{\mathbb{R}^{2} {\rightarrow} \mathbb{R}} est une application de \mathbb{R}^{2} dans \mathbb{R}.
- Les fonctions sin, cos, exp sont des applications de \mathbb{R} dans \mathbb{R}.
- Soit E un ensemble. \psi: \underset{(A, B) \rightarrow A \cap B}{\mathcal{P}(E)^{2} \rightarrow \mathcal{P}(E)} est une application de \mathcal{P}(E)^{2} dans \mathcal{P}(E).
- La fonction \ln est une application de ] 0,+\infty[ dans \mathbb{R}.
- Une suite numérique à valeurs réelles est une application de \mathbb{N} dans \mathbb{R}.
- On pose E=\{a ; b ; c\} et F=\{a ; b ; c ; d ; e\}. On pose f(a)=a, f(b)=d, f(c)=e.
Ainsi définie f est une application de E dans F.
Quand est ce que deux applications sont égales ?
On dit que deux applications f et g sont égales, et on écrit f=g, lorsqu’elles ont le même ensemble de départ et le même ensemble d’arrivée et \forall x \in E, f(x)=g(x).
Voici un exemple de deux applications qui ont la même expression mais elles ne sont pas égales :
On pose f: \underset{x \rightarrow \sin (x)}{[0,2 \pi] \rightarrow\mathbb{R}} et g: \underset{x \rightarrow \sin (x)}{\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}. Même si les deux applications ont la même expression, on a : f \neq g.
Restriction d’une application :
Soient E et F deux ensembles non vides, f une application de \mathrm{E} dans \mathrm{F} et A \in \mathcal{P}(E). On appelle restriction de f à \mathrm{A} l’application de A, notée f_{\mid A} et définie par: \forall x \in A, f_{\mid A}(x)=f(x).
Exemples de restrictions d’une application :
On considère la fonction définie de \mathbb{R} dans \mathbb{R} par f(x)=\left\{\begin{array}{l}1-e^{-x} \text {, si } x \geq 0 \\ x+\ln (-x) \text {, si } x<0\end{array}\right..
i) La restriction de l’application f à l’ensemble [0,+\infty[ est définie par : \forall x\in[0,+\infty[, f_{\mid[0,+\infty[}(x)=1-e^{-x}.
ii) La restriction de l’application f à l’ensemble ]-\infty,0[ est définie par : \forall x\in]-\infty,0[, f_{\mid]-\infty,0[}(x)=x+\ln (-x).
iii) La restriction de l’application f à l’ensemble ]-1,1[ est définie par : \forall x\in]-1,1[, f_{\mid]-1,1[}(x)=\left\{\begin{array}{c}1-e^{-x} \text {, si } x \in[0,1[ \\ x+\ln (-x) \text {, si } x \in]-1,0[\end{array}\right..
Prolongement d’une application :
Soient E, F deux ensembles non vides, f une application de E dansF et B un ensemble tel que E \subset B.
On appelle prolongement de f à B toute application \tilde{f} de B dans F telle que \forall x \in E, \tilde{f}(x)=f(x).
Remarque : un prolongement n’est pas unique en général.
Exemples de prolongements d’une application :
On considère la fonction f: \underset{x \rightarrow \ln (x)}{] 0,+\infty[\rightarrow \mathbb{R}}.
i) On définie \tilde{f} sur \mathbb{R} par : \forall x\in\mathbb{R}, \tilde{f}(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln (x) \text {, si } x \in]0,+\infty[ \\ x+\ln (-x) \text {, si } x \in]-\infty,0]\end{array}\right..
\tilde{f} est un prolongement de f à \mathbb{R}.
ii) On définie \hat{f} sur \mathbb{R} par : \forall x\in\mathbb{R}, \hat{f}(x)=\left\{\begin{array}{c}\ln (x) \text {, si } x \in]0,+\infty[ \\ x+e^{x} \text {, si } x \in]-\infty,0]\end{array}\right..
\hat{f} est un prolongement de f à \mathbb{R}.
iii) On définie \bar{f} sur \mathbb{R^{+}} par : \forall x\in\mathbb{R^{+}}, \bar{f}(x)=\left\{\begin{array}{c}\ln (x) \text {, si } x \in]0,+\infty[ \\ 0 \text {, si } x=0 \end{array}\right..
\bar{f} est un prolongement de f à \mathbb{R^{+}}.
Graphe d’une application :
Soient E, F deux ensembles non vides et f une application de \mathrm{E} dans \mathrm{F}.
On appelle graphe de l’application f le sous-ensemble \mathrm{G} défini par G=\{(x, f(x)) ; x \in E\}.
Exemples de graphes d’applications :
i) On considère l’application f: \llbracket 0,3 \rrbracket \rightarrow \mathbb{R} définie par f(0)=0, f(1)=-1, f(2)=0 et f(3)=5.
Le graphe de f est G=\{(0,0) ;(1,-1) ;(2,0) ;(3,5)\}.
ii) On pose G=\left\{\left(x, x^{2}\right) ; x \in \mathbb{R}\right\}. G est le graphe de l’application f: \underset{x \rightarrow x^{2}}{\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}.
Lien entre graphe et représentation graphique d’une application :
Soit f une fonction définie sur une partie \mathrm{A} de \mathbb{R}. On muni le plan d’un repère cartésien.
Le graphe de f est représenté géométriquement par l’ensemble des points de coordonnées (x, f(x)) lorsque x parcourt l’ensemble A appelé courbe de f (ou représentation graphique de f ).
Famille d’éléments d’un ensemble :
Soient I et E deux ensembles non vides.
On appelle famille d’éléments de E indexée par I toute application de I dans E.
Notation : Une famille d’éléments de E indexée par I est donc un élément de \mathcal{F}(I, E), mais l’utilisation du terme famille sous entend que l’on utilise la notation indexée \left(f_{x}\right)_{x \in I} au lieu de la notation habituelle des applications f: \underset{x \rightarrow f(x)}{I \rightarrow E}
Exemples de familles d’éléments d’un ensemble :
i) Toute suite numérique à valeurs réelles \left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} est une famille d’éléments de \mathbb{R} indexée par \mathbb{N}.
ii) Pour tout a \in \mathbb{R}, on pose f_{a}: \underset{x \rightarrow a x+1}{\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}.
On définit ainsi une famille d’éléments de \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R} ) (c’est une famille d’applications) indexée par \mathbb{R}. On note cette famille \operatorname{par}\left(f_{a}\right)_{a \in \mathbb{R}}.
iii) On pose a_{(0,0)}=-1 ; a_{(0,1)}=1 ; a_{(1,0)}=0 et a_{(1,1)}=2 .\left(a_{(i, j)}\right)_{(i, j) \in\{0 ; 1\}^{2}} est une famille d’éléments de \mathbb{R} indexée par \{0 ; 1\}^{2}.
iv) On pose A_{0}=[0,1] ; A_{1}=[-1,1] ; A_{2}=[0,2]. \left(A_{n}\right)_{n \in\{0 ; 1 ; 2\}} est une famille d’éléments de \mathcal{P}(\mathbb{R}) indexée par \{0 ; 1 ; 2\}.
Opérations sur les familles d’ensembles :
Soit I et E deux ensembles non vides et \left(A_{i}\right)_{i \in I} une famille de parties de E. On définit alors :
\bigcup_{i \in I} A_{i}=\left\{x \in E ; \exists i \in I, x \in A_{i}\right\}
\bigcap_{i \in I} A_{i}=\left\{x \in E ; \forall i \in I, x \in A_{i}\right\}
On a ainsi les deux équivalences suivantes :
\forall x \in E, x \in \bigcup_{i \in I} A_{i} \Leftrightarrow \exists i \in I, x \in A_{i}.
\forall x \in E, x \in \bigcup_{i \in I} A_{i} \Leftrightarrow \exists i \in I, x \in A_{i}.
Fonction indicatrice d’une partie d’un ensemble :
Soit \mathrm{E} un ensemble et A \in \mathcal{P}(E). On appelle fonction indicatrice de A (on dit aussi fonction caractéristique) l’application de E dans \{0 ; 1\} notée 1_{A} et définie par : 1_{A}: E \rightarrow\{0 ; 1\}
Exemples de fonctions indicatrices :
i) 1_{\mathbb{R}^{+}}(0)=1.
ii) 1_{\mathbb{R}^{+}}(-1)=0
iii) 1_{[0,1]^{2}}((1,0))=1
iv) 1_{[0,1]^{2}}((1,2))=0
v) 1_{\mathbb{Q}}(\sqrt{2})=0
vi) 1_{\mathbb{R}}(i)=0
vii) 1_{\mathbb{C}}(i)=1
Propriétés de la fonction indicatrice d’une partie d’un ensemble :
Partition d’un ensemble :
Soit \left(X_{i}\right)_{i \in I} une famille de parties d’un ensemble E. On dit que \left(X_{i}\right)_{i \in I} est une partition de E lorsque les trois conditions suivantes sont vérifiées :
i) \forall i \in I, X_{i} \neq \emptyset
ii) \forall(i, j) \in I^{2}, i \neq j \Rightarrow X_{i} \cap X_{j}=\emptyset
iii) \cup_{i \in I} X_{i}=E
Exemples d’une partition d’un ensemble :
On pose X_{1}=\llbracket 0,3 \rrbracket, X_{2}=\llbracket 4,7 \rrbracket, X_{1}=\llbracket 8,10 \rrbracket. La famille \left(X_{i}\right)_{i \in\{1 ; 2 ; 3\}} est une partition de \llbracket 0,10 \rrbracket.
2) Image directe, image réciproque
i) Image directe d’un ensemble par une application
Soient \mathrm{E} et \mathrm{F} deux ensembles non vides, A \in \mathcal{P}(E) et f une application de E dans \mathrm{F}.
On appelle image directe de A par f, et on note f(A), la partie de \mathrm{F} définie par: f(A)=\{y \in F ; \exists x \in A, y=f(x)\}
On écrit pour simplifier f(A)=\{f(x) \mid x \in A\}
On a dans cette exemple f(\{x;y\})=\{a\}; \quad f(\{x\})=\{a\}=f(\{y\}); \quad f(\{y,,z,w\})=\{c;d\}; \quad f(E)=\{a;c;d\}
Cacher l‘illustrationRemarque : Soient \mathrm{E} et \mathrm{F} deux ensembles non vides, A,B \in \mathcal{P}(E) et f une application de \mathcal{P}(E) dans \mathrm{F}. On a :
i) f(A) \subset F.
ii) \forall y \in F, y \in f(A) \Leftrightarrow \exists x \in A, y=f(x).
iii) f(\varnothing)=\varnothing.
iv) \forall x \in E, x \in A \Rightarrow f(x) \in f(A).
v) A \subset B \Rightarrow f(A) \subset f(B).
ii) Image réciproque d’un ensemble par une application
Soient \mathrm{E} et \mathrm{F} deux ensembles non vides, B \in \mathcal{P}(F) et f une application de \mathrm{E} dans \mathrm{F}.
On appelle image réciproque de B par f, et on note f^{-1}(B), la partie de E définie par : f^{-1}(B)=\{x \in E \mid f(x) \in B\}.
Remarque : Soient \mathrm{E} et \mathrm{F} deux ensembles non vides, A,B \in \mathcal{P}(F) et f une application de \mathrm{E} dans \mathrm{F}.
i) f^{-1}(B) \subset E.
ii) \quad \forall x \in E, x \in f^{-1}(B) \Leftrightarrow f(x) \in B.
iii) \quad f^{-1}(\emptyset)=\emptyset.
iv) f^{-1}(F)=E.
v) A \subset B \Rightarrow f^{-1}(A) \subset f^{-1}(B).
3) Composition d’application
Soient E,F,G trois ensembles non vides, f \in \mathcal{F}(E, F) et g \in \mathcal{F}(F, G).
On appelle composée de f et g, et on note g \circ f, l’application de E dans \mathrm{G} définie par : \forall x \in E, g \circ f(x)=g(f(x)).
Exemple :
On considère les applications f: \underset{x \rightarrow x^{2}}{\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}} et g: \underset{x \rightarrow x+1}{\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}. Pour tout x \in \mathbb{R} on a :
g \circ f(x)=g(f(x))=g\left(x^{2}\right)=x^{2}+1
f \circ g(x)=f(g(x))=f(x+1)=(x+1)^{2}=x^{2}+2 x+1
Donc g \circ f: \underset{x \rightarrow x^{2}+1}{\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}} et f \circ g: \underset{x \rightarrow x^{2}+2 x+1}{\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}} .
On remarque alors que la composition d’application n’est pas commutative (f \circ g \neq g \circ f en général).
Associativité de la composition :
Soient E, F, G, H quatre ensembles non vides f \in \mathcal{F}(E, F), g \in \mathcal{F}(F, G) et h \in \mathcal{F}(G, H). On a h \circ(g \circ f)=(h \circ g) \circ f.
4) Injectivité, surjectivité, bijectivité
i) Application injective
Soient E, F deux ensembles non vides et f \in \mathcal{F}(E, F).
On dit que f est injective (ou que c’est une injection) lorsqu’elle vérifie l’une des trois propositions équivalentes suivantes :
i) Tout élément de \mathrm{F} a au plus un antécédent par f. Autrement dit, pour tout y \in F, l’équation f(x)=y admet au plus une solution dans \mathrm{E}.
ii) \forall x, y \in E, f(x)=f(y) \Rightarrow x=y
iii) \forall x, y \in E, x \neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y).
Exemples d’applications injectives et d’applications non injectives :
i) La fonction sinus n’est pas injective car \sin (0)=\sin (2 \pi).
ii) La fonction f: \underset{(x,y) \rightarrow (x+y,x-y)}{\mathbb{R^{2}}\rightarrow \mathbb{R^{2}}} est injective.
En effet, soit (x, y),(z, w) \in \mathbb{R}^{2}, tels que f(x, y)=f(z, w).
Donc (x+y, x-y)=(z+w, z-w).
Par la suite \left\{\begin{array}{l}x+y=z+w \\ x-y=z-w\end{array}\right. d’où \left\{\begin{array}{c}x+y=z+w \\ -2 y=-2 w\end{array}\right. donc \left\{\begin{array}{l}x=z \\ y=w\end{array}\right. donc (x, y)=(z, w).
Ainsi f est injective.
ii) Application surjective
Soient \mathrm{E}, \mathrm{F} deux ensembles non vides et f \in \mathcal{F}(E, F). On dit que f est surjective (ou que f est une surjection) lorsque l’une des propositions équivalentes suivantes est vérifiée :
i) Tout élément de \mathrm{F} a au moins un antécédent par f. Autrement dit, \forall y \in F, \exists x \in E, y=f(x).
ii) f(E)=F.
Exemples d’applications surjectives et d’applications non surjectives :
i) La fonction f: \underset{x \rightarrow e^{x}}{\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}} n’est pas surjective, car 0 n’admet pas d’antécédent par f.
ii) On note : f_{1}: \underset{x \rightarrow e^{x}}{\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}} et f_{2}: \underset{x \rightarrow e^{x}}{\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}.
-1 n’admet pas d’antécédent par f_{1}, donc f_{1} n’est pas surjective.
Étudions la surjectivité de f_{2} :
Méthode 1 :
\forall y \in \mathbb{R}^{+}, f_{2}(\sqrt{y})=y. Donc \forall y \in \mathbb{R}^{+}, \exists x \in \mathbb{R}, f_{2}(x)=y. D’où f_{2} est surjective.
Méthode 2 :
f_{2}(\mathbb{R})=f_{2}\left(\mathbb{R}^{-} \cup \mathbb{R}^{+}\right)=f_{2}\left(\mathbb{R}^{-}\right) \cup f_{2}\left(\mathbb{R}^{+}\right)=[0,+\infty[\cup[0,+\infty[=[0,+\infty[
Donc f_{2} est surjective.
Comment prouver qu’une application est surjective ? Comment prouver qu’une application est non surjective ?
Dans la plupart des cas, pour prouver la surjectivité, on résout l’équation y=f(x). Et pour prouver la non surjectivité on cherche un élément qui n’a pas d’antécédent par f.
iii) Application bijective
C’est quoi une bijection ?
Soient \mathrm{E}, \mathrm{F} deux ensembles non vides et f \in \mathcal{F}(E, F).
On dit que f est bijective (ou que c’est une bijection) lorsqu’elle vérifie l’une des propositions équivalentes suivantes :
i) f est injective et surjective.
ii) Tout élément de \mathrm{F} a un et un seul antécédent par f. C’est-à-dire \forall y \in F, \exists ! x \in E, y=f(x).
Exemple : id_{E}: \underset{x \rightarrow x}{E \rightarrow E} est bijective.
Bijection réciproque :
Soient E, F deux ensembles non vides et f \in \mathcal{F}(E, F) une application bijective.
L’application de \mathrm{F} dans \mathrm{E} qui à tout y \in F associe l’unique x \in E tel que y=f(x) s’appelle l’application réciproque de f et se note f^{-1}.
Remarque : Soient E, F deux ensembles non vides et f \in \mathcal{F}(E, F) une application bijective. On a dans ce cas : f \circ f^{-1}=i d_{F} et f^{-1} \circ f=i d_{E}.
Remarque :
Soit E, F deux ensembles non vides, B \in \mathcal{P}(F) et f \in \mathcal{F}(E, F) une application bijective.
On peut voir f^{-1}(B) de deux façons :
i) L’image réciproque de B par f
ii) L’image direct de B par f^{-1}
III) Les relations binaires
1) Généralités sur les relations binaires
C’est quoi une relation binaire ?
Soit \mathrm{E} un ensemble non vide. On appelle relation binaire dans E toute partie \mathcal{R} de E \times E (C’est-à-dire \mathcal{R} \in \mathcal{P}(E \times E)).
Notation d’une relation binaire :
(x, y) \in \mathcal{R} est noté x \mathcal{R} y.
Exemples de relations binaires :
i) On pose : E=\llbracket 1,5 \rrbracket et \mathcal{R}=\{(1,5) ;(4,2) ;(1,3) ;(1,1)\}
\mathcal{R} est une relation binaire sur E.
On a : 1 \mathcal{R} 5,4 \mathcal{R} 2,1 \mathcal{R} 3,1 \mathcal{R} 1
Mais on n’a pas 3 \mathcal{R} 4 car (3,4) \notin \mathcal{R}.
ii) La divisibilité dans \mathbb{Z} est définie par : \forall(a, b) \in \mathbb{Z}^{2}, a \mid b \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{Z}, b=k a.
La divisibilité est une relation binaire sur \mathbb{Z}.
iii) «=» ; « \leq » ; «< » ; « \geq » ; «>» sont des relations binaires sur \mathbb{R}.
iv) Soit \mathrm{E} un ensemble non vide, « \subset» est une relation binaire \operatorname{sur} \mathcal{P}(E).
Relation réflexive, relation symétrique, relation transitive, relation antisymétrique :
Soit \mathrm{E} un ensemble non vide et \mathcal{R} une relation binaire sur \mathrm{E}.
i) \mathcal{R} est dite réflexive lorsque : \forall x \in E, x \mathcal{R} x.
ii) \mathcal{R} est dite symétrique lorsque : \forall x, y \in E, x \mathcal{R} y \Rightarrow y \mathcal{R} x
iii) \mathcal{R} est dite transitive lorsque : \forall x, y, z \in E, x \mathcal{R} y et y \mathcal{R} z \Rightarrow x \mathcal{R} z
iv) \mathcal{R} est dite antisymétrique lorsque : \forall x, y \in E, x \mathcal{R} y et y \mathcal{R} x \Rightarrow x=y
Exemples de relations réflexives, symétriques, transitives, antisymétriques :
i) On pose : E=\llbracket 1,3 \rrbracket et \mathcal{R}=\{(1,1) ;(2,2) ;(3,3) ;(1,2) ;(2,3)\}
\mathcal{R} est réflexive, antisymétrique, non symétrique et non transitive.
ii) La relation binaire « \leq » sur \mathbb{R} est réflexive, non symétrique, transitive et antisymétrique.
iii) La relation binaire « <» \operatorname{sur} \mathbb{R} est transitive. non réflexive non symétrique et non antisymétrique.
iv) Soit \mathrm{E} un ensemble non vide. La relation binaire « \subset » sur \mathcal{P}(E) est réflexive, non symétrique, transitive et antisymétrique.
2) Relation d’équivalence
On appelle relation d’équivalence sur un ensemble toute relation binaire réflexive, symétrique et transitive.
C’est quoi la classe d’équivalence ?
Soit \mathrm{E} un ensemble non vide, \mathcal{R} une relation d’équivalence sur \mathrm{E} et x \in E.
i) On appelle classe d’équivalence de x pour la relation \mathcal{R} et on note c l(x ) (ou aussi \bar{x} ) le sous-ensemble de \mathrm{E} défini par c l(x)=\{y \in E \mid y \mathcal{R} x\}.
ii) L’ensemble formé par toutes les classes d’équivalence pour la relation \mathcal{R} est noté \mathrm{E} / \mathcal{R}.
On a \mathrm{E} / \mathcal{R}=\{\operatorname{cl}(x) \mid x \in E\}
Remarque sur la classe d’équivalence d’un élément :
\forall x \in E, x \in \operatorname{cl}(x)
Exemples :
i) On pose : E=\llbracket 1,3 \rrbracket et \mathcal{R}=\{(1,1) ;(2,2) ;(3,3)\}. \mathcal{R} est une relation d’équivalence sur E.
\operatorname{cl}(1)=\{1\}, c l(2)=\{2\}, \operatorname{cl}(3)=\{3\} \text { et } \mathrm{E} / \mathcal{R}=\{\{1\} ;\{2\} ;\{3\}\} \text {. }
ii) On pose : E=\llbracket 1,3 \rrbracket et \mathcal{R}=\{(1,1) ;(2,2) ;(3,3) ;(1,2) ;(2,1)\}.
\mathcal{R} est une relation d’équivalence sur E.
\operatorname{cl}(1)=\{1 ; 2\}=\operatorname{cl}(2) et \operatorname{cl}(3)=\{3\} et \mathrm{E} / \mathcal{R}=\{\{1 ; 2\} ;\{3\}\} .
L’ensemble \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} :
On note \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} l’ensemble de toutes les classes d’équivalence de la relation d’équivalence \equiv[n], sur l’ensemble \mathbb{Z}.
Autrement dit : \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}=\mathbb{Z} / \equiv[n].
Proposition :
Soit \mathrm{E} un ensemble non vide et \mathcal{R} une relation d’équivalence dans E. On a: \forall x, y \in E, x \mathcal{R} y \Leftrightarrow \operatorname{cl}(x)=\operatorname{cl}(y)
Les classes d’équivalence forment une partition
Soit \mathrm{E} un ensemble non vide et \mathcal{R} une relation d’équivalence sur \mathrm{E}.
L’ensemble des classes d’équivalence (E / \mathcal{R}) réalise une partition de E.
3) Relations d’ordre
C’est quoi une relation d’ordre ?
Soit \mathrm{E} un ensemble non vide et \mathcal{R} une relation binaire dans E.
i) On dit que \mathcal{R} est une relation d’ordre dans E lorsque \mathcal{R} est réflexive, antisymétrique et transitive. Dans ce cas (E, \mathcal{R}) est dit ensemble ordonné.
ii) On dit que \mathcal{R} est une relation d’ordre total lorsque \mathcal{R} est une relation d’ordre qui vérifie : \forall x, y \in E, x \mathcal{R} y ou y \mathcal{R} x
iii) Une relation d’ordre non total est dite relation d’ordre partiel.
Exemples de relations d’ordre :
i) «\leq» est une relation d’ordre total dans \mathbb{R}.
ii) Soit \mathrm{E} un ensemble non vide. « \subset » est une relation d’ordre partiel dans \mathbb{R}.
iii) La relation divise « \mid » est une relation d’ordre partiel dans \mathbb{N}.
iv) La relation binaire divise « \mid » n’est pas une relation d’ordre dans \mathbb{Z}.
Majorant, minorant d’un ensemble ordonné
Soit (E, \mathcal{R}) un ensemble ordonné et A \in \mathcal{P}(E).
i) On dit que A est majorée lorsque : \exists M \in E, \forall a \in A, a \mathcal{R} M. Dans ce cas on dit que M est un majorant de A.
ii) On dit que A est minorée lorsque : \exists m \in E, \forall a \in A, m \mathcal{R} a. Dans ce cas on dit que m est un minorant de A.
iii) A est dite bornée lorsqu’elle est majorée et minorée.
Exemples de majorants et de minorants
\operatorname{Dans}(\mathbb{R}, \leq), on pose A=\left\{1+\frac{(-1)^{n}}{n+1} / n \in \mathbb{N}\right\}
On a : \forall n \in \mathbb{N},\left|1+\frac{(-1)^{n}}{n+1}\right| \leq 2
D’où \forall x \in A,-2 \leq x \leq 2
A est donc bornée, 2 est un majorant de \mathrm{A} et -2 est un minorant de \mathrm{A}.
Plus grand élément, plus petit élément :
Remarque :
i) \max (A)=\alpha \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\alpha \text { majorant de } A \\ \alpha \in A\end{array}\right.
ii) \min (A)=\alpha \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\alpha \text { minorant de } A \\ \alpha \in A\end{array}\right.
Exemples :
i) Soit a, b \in \mathbb{R} tel que a \leq b.
On a : \min ([a, b])=a et \max ([a, b])=b
L’ensemble ] a, b[ n’admet ni plus petit élément, ni un plus grand élément.
ii) 2, 3,15 sont des majorants de l’ensemble [0, -2[.
iii) -2,-3,0 sont des minorants de l’ensemble ]0,2].
iv) Soit E un ensemble non vide et non réduit à un élément, A \in \mathcal{P}(E) \backslash\{\emptyset, E\} et H=\{\varnothing ; A ; \bar{A}\}.
Dans (\mathcal{P}(E), \subset) on a :
E est un majorant de \mathrm{H} et \emptyset est un minorant de \mathrm{H}
\mathrm{H} n’admet pas un plus grand élément car A \not \subset \bar{A} et \bar{A} \not \subset A
\min (H)=\emptyset