Voici une série d’exercices corrigés qui te permettra d’assimiler le cours sur le dénombrement. Tous ces exercices sont adaptés aux programmes des filières MPSI et MP2I.
Exercice 1 :
1) Combien y-a-t-il d’anagrammes du mot MOTO.
2) Combien y-a-t-il d’anagrammes du mot ABABAM.
Corrigé :
1) \frac{4!}{2!\times1!\times1!} =12
2) \frac{6!}{3!\times2!\times1!} =60
Exercice 2 :
Une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10. Les boules numérotées de 1 à 4 sont rouges, les boules numérotées de 5 à 10 sont noires.
1) On tire simultanément cinq boules de l’urne.
1-a) Combien y a-t-il de tirages possibles ?
1-b) Combien de tirages donnent 2 boules rouges et 3 boules noires ?
1-c) Combien de tirages donnent au moins une boule rouges ?
2) On tire successivement 5 boules de l’urne sans remise.
2-a) Combien y a-t-il de tirages possibles ?
2-b) Combien de tirages donnent 2 boules rouges et 3 boules noires ?
2-c) Combien de tirages donnent au moins une boule rouges ?
Exercice 3 :
Une urne contient 10 boules : une rouge, 4 bleues et 5 noires.
1) On tire, au hasard, successivement et sans remise trois boules de cette urne.
1-a) Combien y a-t-il de tirages possibles ?
1-b) Combien y a-t-il de tirages tricolore ?
1-c) Combien de tirages donnent trois boules de la même couleur ?
1-d) Combien de tirages pour lesquels la première boule tirée est bleue ?
1-e) Combien de tirages donnent au moins une boule bleue ?
2) On tire, au hasard, successivement et sans remise trois boules de cette urne.
2-a) Combien y a-t-il de tirages possibles ?
2-b) Combien y a-t-il de tirages tricolore ?
2-c) Combien de tirages donnent trois boules de la même couleur ?
2-d) Combien de tirages pour lesquels la première boule tirée est bleue ?
2-e) Combien de tirages donnent au moins une boule bleue ?
Exercice 4 :
Soient n un entier naturel non nul et k \in \llbracket 2,n \rrbracket et p\in \llbracket k,n \rrbracket . Une urne contient n boules numérotées de 1 à n.
1) On tire simultanément k boules de l’urne.
1-a) Combien y a-t-il de tirages possibles ?
1-b) Combien y a-t-il de tirages pour lesquels p est le plus grand numéro tiré ?
1-c) Combien y a-t-il de tirages contenant la boule numéro 1 ?
1-d) Combien y a-t-il de tirages contenant les boules numéros 1 et 2 ?
2) On tire successivement et sans remise k boules de l’urne.
2-a) Combien y a-t-il de tirages possibles ?
2-b) Combien y a-t-il de tirages pour lesquels p est le plus grand numéro tiré ?
2-c) Combien y a-t-il de tirages contenant la boule numéro 1 ?
2-d) Combien y a-t-il de tirages contenant les boules numéros 1 et 2 ?
3) On tire successivement et avec remise k boules de l’urne.
3-a) Combien y a-t-il de tirages possibles ?
3-b) Combien y a-t-il de tirages pour lesquels p est le plus grand numéro tiré ?
3-c) Combien y a-t-il de tirages pour lesquels n-1 est le plus petit numéro tiré ?
3-d) Combien y a-t-il de tirages contenant la boule numéro 1 ?
3-e) Combien y a-t-il de tirages contenant les boules numéros 1 et 2 ?
3-f) Combien y a-t-il de tirages pour lesquels 2 numéros, seulement, sont apparus ?
Exercice 5 :
Soient n\in \mathbb{N} et E un ensemble de cardinal n.
1) Combien y-a-t-il de lois de composition interne sur E.
2) Combien y-a-t-il de lois de composition interne commutatives sur E.
3) Combien y-a-t-il de lois de composition interne possédant un élément neutre sur E.
Exercice 6 :
Soient n \in \mathbb{N^{*}} et f:\mathcal{P} ( \llbracket 1,n \rrbracket ) \rightarrow \mathcal{P} ( \llbracket 1,n \rrbracket ) une application définie par : f(A)= \begin{cases} A \setminus \{1\} & \text{si } 1\in A \\ A \cup \{1\} & \text{si } 1\notin A \end{cases} .
On note I=\{ X\in \mathcal{P} ( \llbracket 1,n \rrbracket ) / card(X) \ est \ impair \} et P=\{X\in \mathcal{P} ( \llbracket 1,n \rrbracket ) / card(X) \ est \ pair \}
1) Calculer f \circ f
2) En déduire que card(P)=card(I)
3) Interpréter ce résultat en utilisant les coefficients binomiaux
Exercice 7 : Formule de Vandermonde
Soient p,q\in \mathbb{N} \ et \ n \in \llbracket 0,p+q \rrbracket .
1) Montrer que \binom{p+q}{n}=\sum_{k=0}^{n} \binom{p}{k} \binom{q}{n-k}
2) En déduire que \binom{2n}{n}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^{2}
Exercice 8 :
Soient n un entier naturel et k \in \llbracket 0,n \rrbracket . Montrer que k \binom{n}{k} = n \binom{n-1}{k-1}
Exercice 9 :
Soit n un entier naturel. Calculer M= \sum_{k=0}^{n}k \binom{n}{k} .
