I) Généralités sur les nombres réels

\bullet (\mathbb{R},+, \times, \leqslant) est un corps totalement ordonné.
\bullet On appelle ensemble des nombres rationnels et on note \mathbb{Q}, l’ensemble défini par : \mathbb{Q}=\left\{\frac{a}{b} /(a, b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}^{*}\right\}.
\bullet C_{\mathbb{R}}^{\mathbb{Q}}=\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} est dit ensemble des nombres irrationnels.
\bullet Soit x un nombre réel, on appelle valeur absolue de x, et on note |x|, le réel défini par \operatorname{par}|x|=\max (x,-x).
\bullet Inégalité triangulaire : \forall x, y \in \mathbb{R},\quad |x+y| \leqslant|x|+|y|.
\bullet Seconde inégalité triangulaire : \forall x, y \in \mathbb{R},\quad || x|-| y|| \leqslant|x-y|.

II) Majorant, minorant, max et min.

Définition :
Soient A une partie de \mathbb{R}, M et m deux nombres réels
\bullet On dit que A est majorée par M lorsque \forall x \in A, x \leqslant M. Et on dit, dans ce cas que M est un majorant de A.
\bullet On dit que A est minorée par m lorsque \forall x \in A, x \geqslant m. Et on dit, dans ce cas que m est un minorant de A.
\bullet On dit que A est bornée lorsque A est minorée et majorée.

Proposition-définition :
Soit A une partie de \mathbb{R}.
i) On dit qu’un nombre réel M est le plus grand élément de A lorsque M est un majorant de A et M \in A.
Dans ce cas, M est unique, on le note \max (A).
ii) On dit qu’un nombre réel m est le plus petit élément de A lorsque m est un minorant de A et m \in A.
Dans ce cas, m est unique, on le note \min (A).

Démonstration :
i) On suppose que A admet M et M^{\prime} comme plus grand élément.
Par définition, M est un majorant de A et M^{\prime} \in A.
Donc M^{\prime} \leqslant M. On a aussi M^{\prime} est un majorant de A et M \in A.
Ainsi M \leqslant M^{\prime}.
On conclut finalement que M=M^{\prime}.

Exemple :
\bullet \mathbb{N} est une partie de \mathbb{R} non majorée et qui est minorée par 0 .
\bullet Soient a, b \in \mathbb{R} avec a<b.
– \min ([a, b[)=a et \max (] a, b])=b. On a :
– Les intervalles ]-\infty, a] et ] a, b] n’ont pas de plus petit élément.
– Les intervalles [a, b[ et [a,+\infty[ n’ont pas de plus grand élément.

Remarque :
\bullet Toute partie non vide et majorée de \mathbb{N} (Resp. de \mathbb{Z} ) admet un plus grand élément.
\bullet Toute partie non vide et minorée de \mathbb{Z} admet un plus petit élément.

III) Intervalles

Définition (segment de \mathbb{R}) :
Soient a, b deux nombres réels tels que a<b.
On note [a, b]=\{x \in \mathbb{R} / a \leqslant x \leqslant b\}, et on appelle segment de \mathbb{R} tout ensemble de cette forme.

Exemple :
i) [0,1] est un segment de \mathbb{R}.
ii) ]-\infty,+\infty[, ]a, [latex]b], ] [latex]a, b[, [0,1] \cup[2,3] ne sont pas des segments de \mathbb{R}.

Définition :
Soit I une partie de \mathbb{R}.
On dit que I est un intervalle de \mathbb{R} lorsque \forall a, b \in I,[a, b] \subset I.

Exemple :
\bullet \mathbb{R}^{*} n'est pas un intervalle de \mathbb{R} car [-1,1] \not \subset \mathbb{R}^{*}.
\bullet A=[0,1] \cup[2,+\infty[ n'est pas un intervalle car [1,2] \subset A.

Remarque :
Soient a,b \in \mathbb{R}, a<b.
Les intervalles de \mathbb{R} sont de la forme :
]-\infty,+\infty[, \ [a,+\infty[,\ ] a,+\infty[,\ ]- \infty, a], \  ]-\infty, a[,\ [a, b], \ [a, b[,\ ] a, b], \ ]a,b[,\  \{a\} et \emptyset.

IV) Borne supérieure, borne inférieure

Définition :
Soit A une partie de \mathbb{R}.
i) Si l'ensemble des majorants de A admet un plus petit élément, on l'appelle la borne supérieure de A et on le note \sup (A).
ii) Si l'ensemble des minorants de A admet un plus grand élément, on l'appelle la borne inférieure de A et on le note \inf (A).

Exemple :
\bullet \sup (] 0,2[)=\min ([1,+\infty[)=1 .
\bullet \inf (] 0,1[)=\max (]-\infty, 0])=0.

Remarque :
i) L'unicité de la borne supérieure (Resp. la borne inférieure) découle de l'unicité du plus petit élément (Resp. plus grand élément).
ii) Si une partie A de \mathbb{R} admet un plus grand élément M (Resp. un plus petit élément) alors M=\sup A(\operatorname{Resp}=\inf A).

Remarque :
Soient a, b deux nombres réels tels que a<b.
\bullet \sup ([a, b])=\sup (] a, b[)=\sup ([a, b[)=\sup (] a, b])=b .
\bullet   \sup (]-\infty, b])=\sup (]-\infty, b[)=b .
\bullet   \inf ([a, b])=\inf (] a, b[)=\inf ([a, b[)=\inf (] a, b[)=a .
\bullet   \operatorname{inb}([a,+\infty[)=\inf (] a,+\infty[)=a.
\bullet  Les intervalle [a,+\infty[, \ ] a,+\infty[ et ]-\infty,+\infty n’ont pas de borne supérieure.
\bullet  Les intervalle ]-\infty, a], \ ]-\infty, a[ et ]-, \infty,+\infty[ n’ont pas de borne inférieure.

Caractérisation de la borne supérieure :
Soient \mathrm{A} une partie de \mathbb{R}, \mathrm{m} et M deux nombres réels.
i) M=\sup (A) \Leftrightarrow \begin{cases} \text { M est un majorant de } A \\ \forall \varepsilon>0, \exists x \in A, M-\varepsilon<x  \quad (\ast) \end{cases}
ii) m=\inf (A) \Leftrightarrow \begin{cases} m \text { et un minorant de } A \\ \forall \varepsilon>0, \exists x \in A, \quad x<m+\varepsilon \quad (\ast \ast) \end{cases}

Démonstration :
" \Rightarrow " On suppose que M=\sup (A).
Par définition de la borne sup, M est un majorant de A.
Soit \varepsilon>0.
Puisque M-\varepsilon<M et M est le plus petit des majorants de A.
Alors M-\varepsilon n’est pas un majorant de A.
Donc \exists x \in A, M-\varepsilon<x.

" \Leftarrow " On suppose que \begin{cases}M \text { est un majorant de } A \\ \forall \varepsilon>0, \exists x \in A, M-\varepsilon<x\end{cases}
Soit M^{\prime} un majorant de A. Montrons que M \leqslant M^{\prime}.
On suppose que M>M^{\prime}.
On pose \varepsilon=M-M^{\prime}>0.
\exists x \in A, M-\varepsilon<x.
Donc M^{\prime}<x ce qui est absurde car M^{\prime} est un majorant de A.
Ainsi M \leqslant M^{\prime}.
On conclut finalement que M est le plus petit des majorants de A.
Donc M=\sup (A)

Remarque :
i) (\ast) Signifie que \forall \varepsilon>0, M-\varepsilon n’est pas un majorant de A.
ii) (\ast \ast) Signifie que \forall \varepsilon>0, m+\varepsilon n’est pas un minorant de A.

Axiome de la borne supérieure :
i) Toute partie non vide et majorée de \mathbb{R} possède une borne supérieure.
ii) Toute partie non vide et minorée de \mathbb{R} possède une borne inférieure.

Remarque :
Soient A une partie non vide de \mathbb{R} et a un nombre réel.
i) Passage à la borne supérieure : (\forall x \in A, x \leqslant a) \Rightarrow \sup (A) \leqslant a.
ii) Passage à la borne inférieure : (\forall x \in A, x \geqslant a) \Rightarrow \inf (A) \geqslant a.

Exercice d’application 1 :
Soient A et B deux parties non vides de \mathbb{R} telles que A \subset B.
1) Montrer que si B est majorée alors \sup (A) \leqslant \sup (B).
2) Montrer que si B est minorée alors \inf (A) \geqslant \inf (B).

Corrigé :
1) On suppose que B est majorée.
Puisque B \neq \emptyset alors B admet une borne supérieure.
Donc \forall x \in B, x \leqslant \sup (B)(\operatorname{car} \sup (B) est un majorant de B).
Donc \forall x \in A, x \in \sup (B)(\operatorname{car} A \subset B).
Par passage à la borne sup on trouve \sup (A) \leqslant \sup (B).
2) On suppose que B est minorée.
Puisque B \neq \emptyset alors B admet une borne inférieure.
Donc \forall x \in B, x \geqslant \inf (B)(\operatorname{car} \inf (B) est un minorant de B).
Donc \forall x \in A, x \geqslant \inf (B)(\operatorname{car} A \subset B).
Par passage à la borne inférieure on trouve \inf (A) \geqslant \inf (B).

Exercice d’application :
On pose A=\left\{(-1)^{n}+\frac{1}{n} / n \in \mathbb{N}^{*}\right\}
1) Justifier l’existence et déterminer la borne supérieure de A.
2) Justifier l’existence et déterminer la borne inférieure de A.
3) A admet-elle un minimum ?

Corrigé :
1) On a A=\left\{0 ; \frac{3}{2} ;-\frac{2}{3} ; \frac{5}{4} ;-\frac{4}{5} ; \cdots\right\}.
Montrons que \forall n \in \mathbb{N}^{*},(-1)^{n}+\frac{1}{n} \leqslant \frac{3}{2}.
Par l’inégalité triangulaire on a :
\begin{aligned} \forall n \in \mathbb{N}^{*} \backslash\{1\}, \ \left|(-1)^{n}+\frac{1}{n}\right| & \leqslant\left|(-1)^{n}\right|+\left|\frac{1}{n}\right| \\ & \leqslant 1+\frac{1}{2} \\ & \leqslant \frac{3}{2}
Et on a \left|(-1)^{1}+\frac{1}{1}\right|=|-1+1|=0 \leqslant \frac{3}{2}.
Donc \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad \left|(-1)^{n}+\frac{1}{n}\right| \leq \frac{3}{2}.
Puisque \frac{3}{2} \in A et \frac{3}{2} est un majorant de A, alors \frac{3}{2}=\max (A).
Ainsi, A admet une borne supérieure et on a \sup (A)=\max (A)=\frac{3}{2}.

2) On a \forall n \in \mathbb{N}^{*},(-1)^{n} \in\{-1 ; 1\} et \frac{1}{n}>0.
Donc \forall n \in \mathbb{N}^{*},(-1)^{n}+\frac{1}{n}>-1.
A est alors une partie de \mathbb{R} non vide et minorée (par -1), elle admet donc une borne inférieure.
Soit \varepsilon>0.
Il existe n_{0} un entier naturel impair tel que \frac{1}{n_{0}}<\varepsilon.
On a (-1)^{n_{0}}+\frac{1}{n_{0}}=-1+\frac{1}{n_{0}}<-1+\varepsilon.
Donc par la caractérisation de la borne inférieure \inf (A)=-1.

V) Partie entière

Propriété d’Archimède :
\mathbb{R} est un corps Archimédien. C’est-à-dire : \forall x \in \mathbb{R}, \exists n \in \mathbb{N}, n>x.

Démonstration :
\mathbb{N} est une partie de \mathbb{R} non majorée.

Proposition-définition (Partie entière) :
Étant donné un nombre réel x, il existe un unique entier relatif n tel que n \leqslant x<n+1.
Cet unique entier relatif est appelé partie entière de x, et est noté \lfloor x\rfloor.

Démonstration :
Soit x \in \mathbb{R}.
Existence :
On pose A=\{k \in \mathbb{Z} / k \leqslant x\}.
A est une partie non vide de \mathbb{Z} (\operatorname{car} \mathbb{Z} n’est pas minorée) et majorée (par x).
Donc A admet un plus grand élément.
On pose n=\max (A).
Puisque n \in A alors n \in \mathbb{Z} et n \leqslant x.
Et on a n+1>n donc n+1 \notin A et par la suite n+1>x.
Ainsi n \leqslant x<n+1.
Unicité :
On suppose qu’il existe n_{1}, n_{2} \in \mathbb{Z} tels que n_{1} \leqslant x<n_{1}+1 et n_{2} \leqslant x<n_{2}+1.
Ainsi x-1<n_{1} \leqslant x et x-1<n_{2} \leqslant x.
D’où -x \leqslant-n_{1}<1-x.
Donc -1<n_{2}-n_{1}<1.
Puisque n_{2}-n_{1} \in \mathbb{Z} alors n_{2}-n_{1}=0.
Et par la suite n_{2}=n_{1}.
D’où l’unicité.

Remarque :
i) \forall x \in \mathbb{R},|x|=\max \{k \in \mathbb{Z} / k \leqslant x\}
Autrement dit, \lfloor x\rfloor est le plus grand entier inférieur ou égal à x.
ii) \forall x \in \mathbb{R},\lfloor x\rfloor \leqslant x<\lfloor x\rfloor+1.
iii) \forall x \in \mathbb{R}, x-1<\lfloor x\rfloor \leqslant x.
iv) \forall x \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{Z},\lfloor x+n\rfloor=\lfloor x\rfloor+n.
v) \forall n \in \mathbb{Z},\lfloor n\rfloor=n.
vi) \forall x \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{Z}, n \leqslant x \Rightarrow n \leqslant\lfloor x\rfloor.

Exemple :
\lfloor 1,5\rfloor=1 et \lfloor-1,5\rfloor=-2.

Exercice d’application 1 :
Montrer que la fonction x \rightarrow\lfloor x\rfloor est croissante sur \mathbb{R}.

Corrigé :
Soient x, y \in \mathbb{R} tels que x \leqslant y.
On a \lfloor x\rfloor \leqslant x donc \lfloor x\rfloor \leqslant y.
Ainsi \lfloor x\rfloor \leqslant\lfloor y\rfloor.
On vient de montrer que la fonction x \rightarrow\lfloor x\rfloor est croissante sur \mathbb{R}.

Approximations décimales d’un réel :
Soit x \in \mathbb{R}.
Pour tout n \in \mathbb{N}, on a : \left\lfloor 10^{n} x\right\rfloor \leqslant 10^{n} x<\left\lfloor 10^{n} x\right\rfloor+1.
Donc \forall n \in \mathbb{N}, \frac{\left\lfloor 10^{n} x\right\rfloor}{10^{n}} \leqslant x<\frac{\left\lfloor 10^{n} x\right\rfloor+1}{10^{n}}.
On pose pour tout n \in \mathbb{N}, a_{n}=\frac{\left\lfloor 10^{n} x\right\rfloor}{10^{n}} et b_{n}=\frac{\left\lfloor 10^{n} x\right\rfloor+1}{10^{n}}.
On remarque que : \forall n \in \mathbb{N}, b_{n}-a_{n}=10^{-n} et a_{n}, b_{n} \in \mathbb{D}.
Pour tout n \in \mathbb{N}, a_{n} est appelée approximation décimale de x par défaut à la précision 10^{-n}.
Pour tout x \in N, b_{m} est appelée approximation décimale de x par excès à la précision 10^{-n}.

Exemple :
Pour x=\frac{1}{3}=0,3333 \ldots, on a :
\bullet a_{0}=\frac{\left\lfloor 10^{0} x\right\rfloor}{10^{0}}=0 \text { et } b_{0}=\frac{\left\lfloor 10^{0} x\right\rfloor+1}{10^{0}}=1 .
\bullet a_{1}=\frac{\left\lfloor 10^{1} x\right\rfloor}{10^{1}}=0,3 \text { et } b_{1}=\frac{\left\lfloor 10^{1} x\right\rfloor+1}{10^{1}}=0,4 .
\bullet a_{2}=\frac{\left\lfloor 10^{2} x\right\rfloor}{10^{2}}=0,33 \text { et } b_{1}=\frac{\lfloor 100 x\rfloor+1}{100}=0,34 .

VI) Densité

Définition :
Soit A une partie de \mathbb{R}.
On dit que A est dense dans \mathbb{R} lorsque :
\forall x, y \in \mathbb{R} tels que x<y, \exists a \in A, x<a<y.

Exemple :
i) \mathbb{Z} n’est pas dense dans \mathbb{R} car il n’y a aucun entier compris entre \frac{1}{4} et \frac{1}{2}.
ii) Les segments de \mathbb{R} ne sont pas dense dans \mathbb{R}.
iii) \mathbb{R}^{*} est dense dans \mathbb{R}.
iv) \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} est dense dans \mathbb{R}.
v) \mathbb{R} est dense dans \mathbb{R}.

Proposition :
\mathbb{D} est dense dans \mathbb{R}.

Démonstration :
Soient x, y \in \mathbb{R} tels que x<y.
Soit n \in \mathbb{N}.
On a x<\frac{\left\lfloor 10^{n} x\right\rfloor+1}{10^{n}} et \frac{\left\lfloor 10^{n} y\right\rfloor}{10^{n}} \leqslant y.
\begin{aligned} \frac{\left\lfloor 10^{n} x\right\rfloor+1}{10^{n}}<\frac{\left\lfloor 10^{n} y\right\rfloor-1}{10^{n}} & \Rightarrow\left\lfloor 10^{n} x\right\rfloor+1<\left\lfloor 10^{n} y\right\rfloor-1 \\& \Rightarrow\left\lfloor 10^{n} x+2\right\rfloor<\left\lfloor 10^{n} y\right\rfloor \\& \Rightarrow 10^{n} x+2<10^{n} y \\& \Rightarrow 10^{n}(y-x)>2 \\& \Rightarrow y-x>\frac{2}{10^{n}} \end{aligned} .
\begin{aligned} y-x>\frac{2}{10^{n}} & \Rightarrow 10^{n} y>10^{n} x+2 \\& \Rightarrow\left\lfloor 10^{n} y\right\rfloor-1 \geqslant\left\lfloor 10^{n} x\right\rfloor+1 \\& \Rightarrow \frac{\left\lfloor 10^{n} x\right\rfloor+1}{10^{n}} \leqslant \frac{\left\lfloor 10^{n} y\right\rfloor-1}{10^{n}} \end{aligned}
On prend donc n \in \mathbb{N} tel que \frac{2}{10^{n}}<y-x.
On a dans ce cas x<\frac{\left\lfloor 10^{n} x\right\rfloor+1}{10^{n}} \leqslant \frac{\left\lfloor 10^{n} y\right\rfloor-1}{10^{n}}<\frac{\left\lfloor 10^{n} y\right\rfloor}{10^{n}} \leqslant y.
Puisque \frac{\left\lfloor 10^{n} x\right\rfloor+1}{10^{n}} \in \mathbb{D} et x<\frac{\left\lfloor 10^{n} x\right\rfloor+1}{10^{n}}<y.
Alors \mathbb{D} est dense dans \mathbb{R}.

Corollaire :
\mathbb{Q} est dense dans \mathbb{R}.

Proposition :
\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} est dense dans \mathbb{R}.

Démonstration :
Soient x, y \in \mathbb{R} tels que x<y.
Puisque \mathbb{Q} est dense dans \mathbb{R}, alors \exists r \in \mathbb{Q}, \quad x-\sqrt{2}<r<x+\sqrt{2}.
Donc x<r+\sqrt{2}<y.
On suppose par l’absurde que r+\sqrt{2} \in \mathbb{Q}.
Donc \sqrt{2}=(r+\sqrt{2})-r \in \mathbb{Q}, ce qui est absurde.
Donc r+\sqrt{2} \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}.
On conclut finalement que \mathbb{R} \backslash Q est dense dans \mathbb{R}.

VII) Droite réelle achevée

Définition :
On appelle droite réelle achevée l’ensemble \overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R} \cup\{-\infty ;+\infty\}.

Opérations dans \overline{\mathbb{R}} :
L’addition, la multiplication et le passage à l’inverse dans \overline{\mathbb{R}} prolongent ceux de \mathbb{R}.
\bullet Addition :
\forall x \in]-\infty,+\infty], \quad x+(+\infty)=+\infty
\forall x \in[-\infty,+\infty[, \quad x+(-\infty)=-\infty
\bullet Multiplication :
\forall x \in] 0,+\infty], \quad x \times(+\infty)=+\infty et x \times(-\infty)=-\infty
\forall x \in[-\infty, 0[, \quad x \times(+\infty)=-\infty et x \times(-\infty)=+\infty
\bullet Passage à l’inverse : \frac{1}{ \pm \infty}=0
\bullet Opérations indéterminées :
(+\infty)+(-\infty) ; \ 0 \times( \pm \infty) ; \ \frac{0}{0} ; \ \frac{ \pm \infty}{ \pm \infty}

Relation d’ordre :
On munit \overline{\mathbb{R}} d’une relation d’ordre, qu’on notera \leqslant, qui prolonge la relation d’ordre usuelle de \mathbb{R} comme suit :
\forall(a, b) \in \mathbb{R}^{2} tel que a \leqslant b au sens de la relation d’ordre usuelle de \mathbb{R}, on a au sens de la relation d’ordre \leqslant de \overline{\mathbb{R}} :
-\infty \leqslant a \leqslant b \leqslant+\infty, \max (\overline{\mathbb{R}})=+\infty et \min (\overline{\mathbb{R}})=-\infty .