Dans tout ce cours, \mathcal{D} désigne une partie de \mathbb{R}.
I) Généralités sur les fonctions réelles
Représentation graphique d’une fonction :
Soit f \in \mathcal{F}(\mathcal{D}, \mathbb{R}).
Dans le plan muni d’un repère (0, \vec{\imath}, \vec{\jmath}), l’ensemble des points de coordonnées (x, f(x)) avec x \in \mathcal{D} est appelé la représentation graphique (ou courbe) de f.
On le note C_{f} et on a C_{f}=\left\{(x, f(x)) / x \in D_{f}\right\}.
Définition :
Soient f \in \mathcal{F}(\mathcal{D}, \mathbb{R}) et T \in] 0,+\infty[.
i) On dit que f est paire lorsque \forall x \in \mathcal{D},-x \in \mathcal{D} et \forall x \in \mathcal{D}, f(-x)=f(x).
ii) On dit que f est impaire lorsque \forall x \in \mathcal{D},-x \in \mathcal{D} et \forall x \in \mathcal{D}, f(-x)=-f(x).
iii) On dit que f est T-périodique lorsque \forall x \in \mathcal{D}, x+T \in \mathcal{D}[latex] et [latex]\forall x \in \mathcal{D}, f(x+T)=f(x).
Exemple :
\bullet cos est une fonction paire et 2 \pi-périodique.
\bullet sin est une fonction impaire et 2 \pi-périodique.
\bullet tan est une fonction impaire et \pi-périodique.
Interprétation géométrique :
Soient f \in \mathcal{F}(\mathcal{D}, \mathbb{R}) et T \in] 0,+\infty[. On note C_{f} la courbe de la fonction f.
i) Si f est paire alors C_{f} est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Dans ce cas, il suffit d'étudier la fonction f \operatorname{sur} \mathcal{D} \cap] 0,+\infty[.
ii) Si f est impaire alors C_{f} est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Dans ce cas, il suffit d'étudier la fonction f \operatorname{sur} \mathcal{D} \cap] 0,+\infty[.
iii) Si f est T-périodique alors C_{f} est invariante par les translations de vecteurs k T \vec{\imath} où k \in \mathbb{Z}.
Dans ce cas, il suffit d'étudier la fonction f \operatorname{sur} \mathcal{D} \cap[0, T[
Définition :
Soient f, g \in \mathcal{F}(\mathcal{D}, \mathbb{C}).
On dit que les fonctions f et g sont égales, et on note f=g, lorsque \forall x \in I, f(x)=g(x).
Définition :
Soient \lambda \in \mathbb{C} et f, g \in \mathcal{F}(\mathcal{D}, \mathbb{C}).
\bullet On définit la fonction f+g par \forall x \in \mathcal{D},(f+g)(x)=f(x)+g(x).
\bullet On définit la fonction f \times g \operatorname{par} \forall x \in \mathcal{D},(f \times g)(x)=f(x) \times g(x).
\bullet On définit la fonction \lambda \cdot f \operatorname{par} \forall x \in \mathcal{D},(\lambda \cdot f)(x)=\lambda f(x).
\bullet Si pour tout x \in \mathcal{D}, f(x) \neq 0, on définit la fonction \frac{1}{f} par \forall x \in \mathcal{D}, \frac{1}{f}(x)=\frac{1}{f(x)}.
Définition :
Soient \mathcal{D}_{1} et \mathcal{D}_{0} deux parties de \mathbb{R} avec \mathcal{D}_{0} \subset \mathcal{D}_{1}, f \in \mathcal{F}\left(\mathcal{D}, \mathcal{D}_{0}\right) et g \in \mathcal{F}\left(\mathcal{D}_{1}, \mathbb{C}\right).
On définit la fonction composée g \circ f par \forall x \in \mathcal{D},(g \circ f)(x)=g(f(x)).
Remarque :
Pour que la composée g \circ f soit définie, il est nécessaire que l'ensemble d'arrivée de f soit contenu dans l'ensemble de départ de g.
Définition :
Soit f \in \mathcal{F}(\mathcal{D}, \mathbb{R}).
\bullet On dit que f est croissante sur \mathcal{D} si \forall x, y \in D, x \leqslant y \Rightarrow f(x) \leqslant f(y).
\bullet On dit que f est strictement croissante sur \mathcal{D} si \forall x, y \in D, x<y \Rightarrow f(x)<f(y).
\bullet On dit que f est décroissante sur \mathcal{D} si \forall x_{1}, x_{2} \in D, x \leqslant y \Rightarrow f(x) \geqslant f(y).
\bullet On dit que f est strictement décroissante sur \mathcal{D} si \forall x, y \in D, x<y \Rightarrow f(x)>f(y).
\bullet On dit que f est monotone si elle est croissante ou décroissante.
\bullet On dit que f est strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante.
Définition :
Soit f \in \mathcal{F}(\mathcal{D}, \mathbb{R}).
i) On dit que f est majorée s'il existe M \in \mathbb{R} tel que, pour tout x \in \mathcal{D}, f(x) \leqslant M.
ii) On dit que f est minorée s'il existe m \in \mathbb{R} tel que, pour tout x \in \mathcal{D}, f(x) \geqslant m.
iii) f est bornée si f est à la fois majorée et minorée.
Remarque :
Soit f \in \mathcal{F}(\mathcal{D}, \mathbb{R}). On montre facilement que :
f est bornée sur \mathcal{D} si et seulement si la fonction |f| est majorée sur \mathcal{D}.
II) Continuité
Définition :
Soient f \in \mathcal{F}(\mathcal{D}, \mathbb{R}) et a \in \mathcal{D}.
On dit que f est dite continue en a \operatorname{lorsque}_{x \rightarrow a} f(x)=f(a).
On dit que f est dite continue sur \mathcal{D} lorsqu'elle est continue en tout point de \mathcal{D}.
On note C^{0}(\mathcal{D}, \mathbb{R}) l'ensemble des fonctions continues sur \mathcal{D} à valeurs dans \mathbb{R}.
Théorème des valeurs intermédiaires :
Soient I un intervalle de \mathbb{R}, f \in C^{0}(\mathcal{D}, \mathbb{R}) et (a, b) \in I^{2}.
f atteint toute valeur intermédiaire entre f(a) et f(b).
Plus précisément, pour tout réel k, compris entre f(a) et f(b), il existe (au moins) un élément c \in I tel que f(c)=k.
Corollaire :
Soient I un intervalle de \mathbb{R}, f \in C^{0}(\mathcal{D}, \mathbb{R}) et (a, b) \in I^{2}.
Si f est strictement monotone sur l'intervalle I alors :
Pour tout réel k, compris entre f(a) et f(b), il existe un unique élément c \in I tel que f(c)= k.
Théorème de la bijection :
Soient I un intervalle de \mathbb{R} et f une fonction continue et strictement monotone sur I. Alors :
\bullet f est une bijection de I sur l'intervalle J=f(I).
\bullet f^{-1} est continue sur J.
\bullet f^{-1} est strictement monotone sur J, de même monotonie que f.
Opérations sur les fonctions continues :
Soient I un intervalle de \mathbb{R} et f \in C^{0}(\mathcal{D}, \mathbb{R}).
i) Combinaison linéaire : \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}, \lambda f+\mu g \in C^{0}(\mathcal{D}, \mathbb{R}).
ii) Produit : f g \in C^{0}(\mathcal{D}, \mathbb{R}).
iii) Quotient : Si de plus g ne s'annule pas sur \mathcal{D}, alors \frac{f}{g} \in C^{0}(\mathcal{D}, \mathbb{R}).
Proposition (composition) :
Soient \mathcal{D}_{1} et \mathcal{D}_{0} deux parties de \mathbb{R} avec \mathcal{D}_{0} \subset \mathcal{D}_{1}, f \in \mathcal{F}\left(\mathcal{D}, \mathcal{D}_{0}\right) et g \in \mathcal{F}\left(\mathcal{D}_{1}, \mathbb{C}\right).
Si f est continue sur \mathcal{D} et g continue sur \mathcal{D}_{1} alors g \circ f est continue sur \mathcal{D}.
III) Dérivation
Dans toute cette partie et sauf mention explicite du contraire, I désigne un intervalle de \mathbb{R} non vide et non réduit à un point, les fonctions considérées, et en particulier la fonction f, sont définies sur I et sont à valeurs dans \mathbb{R} et a \in I.
Définition :
i) On dit que f est dérivable en a \in I si la fonction x \rightarrow \frac{f(x)-f(a)}{x-a} admet une limite finie lorsque x tend vers a.
Dans ce cas, on note cette limite f^{\prime}(a) ou \frac{d f}{d x}(a) et on l'appelle nombre dérivé de f en a.
ii) On dit que la fonction f est dérivable sur I si f est dérivable en tout point de I.
On définit alors la fonction dérivée de f que l'on note f^{\prime} (ou \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{~d} x} ) qui à tout élément x \in I associe f^{\prime}(x).
iii) Si la fonction f est dérivable en a \in I, on appelle tangente de f en a la droite d'équation : y=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a).
Proposition :
Si la fonction f est dérivable au point a, alors f est continue au point a.
Remarque :
La réciproque est fausse. Par exemple la fonction x \rightarrow|x| est continue en 0 mais n'y est pas dérivable.
Opérations algébriques sur les dérivées :
Soient f, g: I \rightarrow \mathbb{R} deux fonctions dérivables sur I et \lambda, \mu \in \mathbb{R}.
i) \lambda f+\mu g est dérivable sur I et \forall x \in I,(\lambda f+\mu g)^{\prime}(x)=\lambda f^{\prime}(x)+\mu g^{\prime}(x)
ii) f g est dérivable sur I et \forall x \in I,(f g)^{\prime}(\mathrm{x})=f^{\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime}(x).
iii) Si g ne s'annule pas sur I, \frac{f}{g} est dérivable sur I et \forall x \in I,\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}(x) v(x)-u(x) v^{\prime}(x)}{v^{2}(x)}.
Dérivée d'une composée :
Soient I et J deux intervalles de \mathbb{R}, f \in \mathcal{F}(I, \mathbb{R}), g \in \mathcal{F}(J, \mathbb{R})[/latex] deux fonctions telles que f(I) \subset J.
Si f est dérivable sur I et g est dérivable sur J, Alors g \circ f est dérivable sur I et on a :
\forall x \in I, \quad(g \circ f)^{\prime}(x)=f^{\prime}(x) \times\left(g^{\prime} \circ f\right)(x)
Dérivée et variations :
On suppose que la fonction f est dérivable sur I.
\bullet f est croissante sur I si et seulement si, pour tout x \in I, f^{\prime}(x) \geqslant 0.
\bullet f est décroissante sur I si et seulement si, pour tout x \in I, f^{\prime}(x) \leqslant 0.
\bullet f est constante sur I si et seulement si, pour tout x \in I, f^{\prime}(x)=0.
\bullet Si, pour tout x \in I, f^{\prime}(x)>0, alors f est strictement croissante sur I.
\bullet Si, pour tout x \in I, f^{\prime}(x)<0, alors f est strictement décroissante sur I.
Proposition :
On suppose que la fonction f est dérivable sur l'intervalle I.
Si f^{\prime} est positive (resp. négative) sur I et ne s'annule, éventuellement, qu'en un nombre fini de points, alors f est strictement croissante (resp. décroissante) sur I.
Dérivée de l'application réciproque d'une bijection :
Soient I et J deux intervalles de \mathbb{R} et f \in \mathcal{F}(I, J).
Si f est dérivable sur I et si f^{\prime} ne s'annule pas sur I, alors f^{-1} est dérivable sur J.
Et dans ce cas on a : \forall y \in J,\left(f^{-1}\right)^{\prime}(y)=\frac{1}{f^{\prime} \circ f^{-1}(y)}
Remarque :
Dans un repère orthonormé C_{f} et C_{f^{-1}} sont symétrique par rapport à la première bissectrice.
Définition :
On dit que la fonction f est de classe \mathcal{C}^{1} sur I lorsque f est dérivable sur I et f^{\prime} continue sur I.
Définition :
i) On définit les dérivées successives de f par :
On note f^{(0)}=f.
Pour n \in \mathbb{N}, si la fonction f^{(n)} existe et est dérivable on note \left(f^{(n)}\right)^{\prime}=f^{(n+1)}.
ii) Si pour n \in \mathbb{N}, la fonction f^{(n)} existe, on dit que f est n fois dérivable sur I et on appelle f^{(n)} la dérivée n^{\text {ième }} \operatorname{de} f \operatorname{sur} I.
iii) On dit que f est indéfiniment dérivable sur I lorsque \forall n \in \mathbb{N}, f est n-fois dérivable sur I.
Définition :
Soit n \in \mathbb{N}.
\bullet On dit que f est de classe C^{n} sur I lorsque f est n-fois dérivable sur I et f^{(n)} est continue sur I.
On note C^{n}(I, \mathbb{R}) l'ensemble des fonctions de I dans \mathbb{R} de classe C^{n}.
\bullet On dit que f est de classe C^{\infty} sur I lorsque f est indéfiniment dérivable sur I.
On note C^{\infty}(I, \mathbb{R}) l'ensemble des fonctions de I dans \mathbb{R} de classe C^{\infty}.
Exemple :
i) Toute fonction polynômiale est de classe C^{\infty} sur \mathbb{R}.
ii) \exp , \cos , \sin \in C^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R})
Opérations sur les fonctions de classe C^{n} :
Combinaison linéaire : Soit n \in \mathbb{N} \cup\{\infty\}, f, g \in C^{n}(I, \mathbb{R}) et \lambda, \mu \in \mathbb{R}.
Alors \lambda f+\mu g \in C^{n}(I, \mathbb{R}), et \forall k \in \llbracket 0, n \rrbracket \cap \mathbb{N},(\lambda f+\mu g)^{(k)}=\lambda f^{(k)}+\mu g^{(k)}
Formule de Leibniz (Produit) : Soit n \in \mathbb{N} \cup\{\infty\} et f, g \in C^{n}(I, \mathbb{R}).
Alors f g \in C^{n}(I, \mathbb{R}), et \forall k \in \llbracket 0, n \rrbracket \cap \mathbb{N},(f g)^{(k)}=\sum\limits_{i=0}^{k} \binom{k}{i} f^{(i)} g^{(k-i)}
Quotient : Soit n \in \mathbb{N} \cup\{\infty\} et f, g \in C^{n}(I, \mathbb{R}). Si g ne s'annule pas sur I, alors \frac{f}{g} \in C^{n}(I, \mathbb{R}).
Composition :
Soient J un intervalle de \mathbb{R}, n \in \mathbb{N} \cup\{\infty\}, f \in C^{n}(I, \mathbb{R}) et g \in C^{n}(J, \mathbb{R}) tel que f(I) \subset J. Alors g \circ f \in C^{n}(I, \mathbb{R}).
Réciproque d'une fonction de classe \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{k}} :
Soient J un intervalle de \mathbb{R}, f: I \rightarrow J une fonction bijective et n \in \mathbb{N}^{*}.
i) Si f \in C^{n}(I) et f^{\prime} ne s'annule pas sur I, alors f^{-1} \in C^{n}(J).
ii) Si f \in C^{\infty}(I) et f^{\prime} ne s'annule pas sur I, alors f^{-1} \in C^{\infty}(J).
iii) Si \exists a \in I, f^{\prime}(a)=0, alors f^{-1} n'est pas dérivable en f(a) et \lim _{\substack{y \rightarrow f(a) \\ y \neq f(a)}} \frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(f(a))}{y-f(a)}= \pm \infty.
IV) Extension aux fonctions à valeurs complexes
Parties réelle et imaginaire d'une fonction à valeurs complexes :
Soit f \in \mathcal{F}(\mathcal{D}, \mathbb{C}).
On définit la fonction partie réelle de la fonction f, qu'on notera \operatorname{Re}(f) par : \forall x \in \mathcal{D}, \operatorname{Re}(f)(x)=\operatorname{Re}(f(x)).
On définit la fonction partie imaginaire de la fonction f, qu'on notera \operatorname{Im}(f) par : \forall x \in \mathcal{D}, \operatorname{Im}(f)(x)=\operatorname{Im}(f(x)).
Proposition :
Soit f \in \mathcal{F}(\mathcal{D}, \mathbb{C}).
f est continue sur I si et seulement si ses parties réelles et imaginaires le sont.
Proposition :
Soient I un intervalle de \mathbb{R}, n \in \mathbb{N} \cup\{\infty\} et f \in \mathcal{F}(I, \mathbb{C}).
i) f est dérivable sur I si et seulement si ses parties réelles et imaginaires le sont.
Dans ce cas : \forall x \in I, f^{\prime}(x)=\operatorname{Re}(f)^{\prime}(x)+i \operatorname{Im}(f)^{\prime}(x).
ii) f est de classe C^{n} sur I si et seulement si ses parties réelles et imaginaires le sont.
Proposition :
Soient I un intervalle de \mathbb{R} et \varphi \in \mathcal{F}(I, \mathbb{C}).
Si \varphi est dérivable sur un I alors la fonction f: x \mapsto e^{\varphi(x)} l'est aussi.
Et dans ce cas on a pour tout x \in I, f^{\prime}(x)=\varphi^{\prime}(x) e^{\varphi(x)}